La mécanique ondulatoire

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En partant des travaux de Kirchhoff en 1859, la physique de l’interaction entre matière et rayonnement suivit deux branches qui ne se réunifièrent que tardivement:

  • l’étude de l’émission continue, thermique, qui conduisit Stefan (1879), Boltzmann (1884), et Wien (1894) à établir les lois du « corps noir », puis Planck (1900) et surtout Einstein (1905) au « quantum de lumière ». Cette branche mena ensuite de Broglie (1923) et Schrödinger (1926) à la mécanique ondulatoire.
  • l’étude des raies spectrales, où les travaux de Kirchhoff et Bunsen (1860), Balmer (1885), Rydberg (1888) conduisit Bohr à proposer en 1913 son modèle atomique, puis en 1925 Heisenberg, Born et Jordan la mécanique des matrices .

Schrödinger montra dès 1926 l’équivalence entre son approche et celle de Heisenberg, puis Dirac ouvrit la voie à l’électrodynamique quantique en 1927 unifiant les deux branches de l’étude de l’interaction de la matière et du rayonnement.

Louis de Broglie et la mécanique ondulatoire

Maurice, duc de Broglie (1875-1960) fut un physicien expérimentateur de premier plan et un spécialiste de la diffraction des rayons X et de l’ionisation des gaz. Élève de Paul Langevin, il fut secrétaire du premier Congrès Solvay en 1911, académicien et professeur de physique générale au Collège de France, prenant la succession de Langevin. Après la Première guerre mondiale, il installa chez lui un laboratoire de physique où il forma son frère cadet, Louis.

Louis de Broglie (1892-1987)
Louis de Broglie (1892-1987)

Louis, prince puis duc de Broglie (l’aîné de la famille porte le titre de duc, le cadet celui de prince) avait suivi des études d’histoire avant de se tourner vers les mathématiques et la physique. Il avait beaucoup étudié les ressemblances entre les lois de l’optique ondulatoire et le principe de Fermat d’une part, et le principe de Maupertuis d’autre part conduisant à la formulation es lois de la mécanique donnée par Hamilton en 1827. Il pensa que cette similitude n’était pas une pure coïncidence et qu’elle devait refléter une analogie profonde.

De Broglie partit des réflexions d’Einstein sur les quanta de lumière. La lumière se comportait manifestement comme une onde dans certaines circonstances (phénomènes de diffraction et d’interférence), et manifestement comme une particule dans d’autres circonstances (effet photoélectrique, diffusion Compton). Ce deuxième aspect avait été difficile à détecter, et à admettre, et de Broglie se demanda si une erreur inverse n’avait pas été commise pour l’électron: le considérer uniquement comme une particule et négliger son aspect ondulatoire.

☞ Si l’électron pouvait se comporter comme une onde dans certaines circonstances, à l’intérieur d’un atome par exemple, cela permettrait peut-être d’expliquer son comportement surprenant pour une particule matérielle. Dans le cas de la lumière, la fréquence avait été la propriété d’où l’impulsion et l’énergie avaient été déduites (ν ➛ p=hν/c=h/λ et E=hν). Dans le cas de la matière, les propriétés de départ sont la masse M et la vitesse V d’où sont déduites l’impulsion p = MV et l’énergie E = ½MV2. Mais quelle fréquence ou quelle longueur d’onde λ associer à une telle particule matérielle? De Broglie calqua audacieusement en 1923 la relation λ = h/p vraie pour un photon en associant à un électron de vitesse V une onde dont la longueur d’onde serait:

λ = h/p = h/MV          (longueur d’onde de de Broglie)

Le terme « associer » est intentionnellement vague: à ce stade, il n’est pas possible de dire que l’électron est une onde, mais seulement qu’une onde lui est associée sans que sa nature soit précisée, ni les conditions de la correspondance particule ⇌ onde. L’objectif de de Broglie était de construire une mécanique ondulatoire qui généraliserait la mécanique des particules de la même façon que l’optique ondulatoire généralise l’optique géométrique. La présence de la constante de Planck h dans la relation λ = h/p expliquait pourquoi les effets ondulatoires de la matière n’étaient pas perceptibles macroscopiquement:

À titre d’exemple, calculons la longueur d’onde de de Broglie associée à un moustique en vol. La masse d’un moustique est de l’ordre du milligramme, et on peut estimer sa vitesse à 10 cm/s. On trouve alors une longueur d’onde de l’ordre de 10−27 m. (F. Besnard, cours EPF 2012)

Ceci permit à Louis de Broglie d’expliquer immédiatement la règle de quantification de Bohr MVnRn = nħ = nh/2π. En effet, cette règle se réécrit

2π Rn = nh/MVn = nλ

Les orbites de Bohr sont celles où l'onde est stationnaire
Les orbites de Bohr sont celles où l’onde est stationnaire

Ceci signifiait que les seules orbites stationnaires dans un atome sont celles qui correspondent à un nombre entier n de longueurs d’ondes λ, exactement comme les états stationnaires des modes de vibration en mécanique classique.

L’idée d’onde associée à l’électron permettait ainsi d’expliquer, en partie, les bizarreries du modèle de Bohr-Sommerfeld. Par ailleurs, elle rétablissait une symétrie entre matière et rayonnement. Le caractère radical de l’hypothèse de de Broglie perturba d’ailleurs quelque peu son jury de thèse, en particulier Jean Perrin et Paul Langevin. Ce dernier demanda l’avis d’Einstein, qui fut immédiatement emballé, déclarant « Il a levé un pan du grand voile! ». De Broglie obtint sa thèse le 29 novembre 1924. Mais Bohr ne fut pas du tout convaincu (ses relations avec de Broglie étaient demeurées médiocres en raison d’un différent scientifique antérieur), et par contrecoup la majorité des physiciens du domaine resta réticente, jusqu’à ce que Schrödinger change la donne. Louis de Broglie reçut le prix Nobel de physique dès 1929 (avant Heisenberg en 1932 et Schrödinger en 1933).

Le raisonnement de de Broglie fut en fait un peu plus subtil que de poser simplement λ = h/p. Il partit d’un corpuscule libre immobile, en lui attribuant une fréquence ν0 = E0/h = Mc2/h correspondant à son énergie de masse . En changeant de référentiel (transformation de Lorentz) pour celui où le corpuscule a une vitesse V, son énergie devient E = E0/(1-V2/c2)1/2 et la fréquence associée ν = ν0/(1-V2/c2)1/2. Mais le corpuscule a aussi une impulsion

p = MV/(1-V2/c2)1/2 = hν/V = h/λ

Puis de Broglie examina le cas où il y a un champ de force dérivant d’un potentiel, effectua les mêmes transformations de Lorentz et montra que la vitesse de groupe des ondes est à nouveau égale à la vitesse du corpuscule. Il établit ainsi un parallèle entre le principe de Fermat pour l’onde et le principe de moindre action pour le corpuscule, montrant que les trajectoires du corpuscule sont identiques aux trajectoires des rayons de l’onde associée. C’est alors seulement qu’il identifia la condition de quantification de Bohr-Sommerfeld et la condition de stationnarité de l’onde associée. L’apparition de nombres entiers est alors automatique. De Broglie conclut en notant que son formalisme s’applique aussi bien à un corpuscule de masse nulle: dans ce cas la vitesse de phase et la vitesse de groupe tendent toutes les deux vers c quand la masse tend vers zéro, et il retrouva ainsi les relations d’Einstein E = hν et p = hν/c.

Ayant montré que les lois de la mécanique étaient l’équivalent des lois de l’optique géométrique,et notant que celles-ci ne sont que la limite de la « vraie » théorie ondulatoire pour des dimensions grandes devant la longueur d’onde, de Broglie en déduisit qu’il devait exister l’équivalent des phénomènes de diffraction et d’interférence pour les corpuscules quand les dimensions du système approchaient de la longueur d’onde associée (la longueur d’onde de de Broglie dans le vocabulaire moderne). Il calcula que la longueur d’onde associée à un électron d’énergie 1 eV était de 12.2 Å, soit les dimensions d’un atomique ou d’une maille cristalline, ou la longueur d’onde des rayons X. D’où l’idée d’effectuer avec des électrons des expériences de diffraction sur des cristaux, analogues à celles de Max von Laue en 1914 avec des rayons X.

Pour de Broglie, les ondes associées à l’électron avaient une réalité physique, quasi-matérielle. Elles devaient suivre une équation d’onde déterministe, dépendant de variables « cachées », et déterminer le comportement de la particule associée, jouant le rôle d’onde-pilote. De Broglie ne donnait cependant pas d’équation pour les ondes de matière, suscitant les critiques de Peter Debye, mais incitant Schrödinger à en rechercher une. L’idée d’onde-pilote fut violemment critiquée par Pauli lors du congrès Solvay de 1927, et de Broglie n’y revint que lorsque David Bohm (1917-1992) présenta en 1952 une théorie cohérente de la paire particule/onde pilote.

Expériences de Davisson et Germer (1927) et de George Paget Thomson

Expérience de Davisson et Germer
Expérience de Davisson et Germer

L’expérience de Clinton Davisson et Lester Germer démontra en 1927 la nature ondulatoire de l’électron en mesurant la longueur d’onde par la même méthode qui permet de mesurer la longueur d’onde de rayons X: par diffraction sur un cristal de nickel et en observant les figures de diffraction de Bragg.

Figure de diffractionClinton Davisson (1881-1958) contribua ensuite au développement du microscope électronique qui utilise explicitement l’aspect ondulatoire de l’électron. Il partagea le prix Nobel de physique en 1937 avec George Thomson.

George Paget Thomson (1892-1975) était le fils de J.J. Thomson, découvreur de l’électron, et il commença sa carrière au laboratoire Cavendish avant de devenir professeur à Aberdeen puis à l’Imperial College de Londres. En 1928, il diffusa des électrons à travers des poudres métalliques (la méthode imaginée par Debye et Scherrer pour la diffraction des rayons X) et confirma ainsi leur nature ondulatoire. Il contribua beaucoup ensuite à l’étude des neutrons, puis il fut en 1940 le responsable du comité MAUD chargé d’explorer la possibilité d’une arme nucléaire.

Il est également possible de faire interférer des électrons:

Interférence d'électrons
Interférence d’électrons

Dans cette expérience contemporaine (Dr. Akira Tonomura, société Hitachi) les électrons déviés par le filament central dessinent une figure d’interférence sur le détecteur. C’est l’équivalent de l’expérience des trous d’Young ou du biprisme de Fresnel en optique classique.

Les électrons arrivent un par un sur le détecteur, et la figure classique des franges d'interférence n'apparaît que peu à peu: 20 minutes séparent la figure a (8 électrons enregistrés) de la figure d (160 000 électrons)
Les électrons arrivent un par un sur le détecteur, et la figure classique des franges d’interférence n’apparaît que peu à peu: 20 minutes séparent la figure a (8 électrons enregistrés) de la figure d (160 000 électrons)

Les multiples facettes du Professeur Schrödinger

Premiers travaux

Erwin Schrödinger (1887-1961)
Erwin Schrödinger (1887-1961)

En 1926, Schrödinger était loin d’être un physicien débutant. Élève à Vienne de Friedrich Hasenöhrl (1874–1915) qui fut tué pendant la Première guerre mondiale, et de Franz Exner (1849–1926), il en devint l’assistant, travaillant sur des questions d’électricité atmosphérique (son sujet de thèse en 1910 était Sur la conduction de l’électricité sur la surface des isolateurs dans l’air humide), de mouvement brownien et de statistiques. Il examina la radioactivité de l’atmosphère à différentes altitudes et la relia à la distribution avec l’altitude de divers corps radioactifs. Avec Fritz Kohlrausch, Schrödinger étudia aussi l’émission des rayonnements bêta par des gammas incidents sur des métaux. Il obtint son habilitation en 1914, avant de passer la guerre comme officier d’artillerie de l’armée autro-hongroise. Il s’intéressa beaucoup à cette période à la théorie de la vision des couleurs, thème sur lequel il revint régulièrement jusqu’à la fin de sa vie.

En 1920, il fut brièvement l’assistant de Max Wien (cousin de Wilhelm Wien) à Iéna, puis professeur à Stuttgart, Breslau puis Zürich en 1921, avant de succéder en 1927 à Berlin à Max Planck. C’est à ce moment qu’il s’intéressa de près au modèle de Bohr-Sommerfeld et qu’il l’appliqua aux métaux alcalins (sodium, potassium…). En 1922, il utilisa les techniques géométriques suggérées par Hermann Weyl (lui aussi professeur à Zürich) à l’étude des orbites des électrons. Toute sa vie, Schrödinger demeura favorable à l’idée que les lois de conservation (de l’énergie en particulier) ne sont que des lois statistiques qui peuvent être violées dans de rares occasions (idée acquise d’Exner), et il fut donc un partisan du modèle de Bohr-Kramers-Slater (vite réfuté par les expériences de Geiger et Bothe). En 1924-1925, il s’intéressa aux idées d’Einstein sur la statistique des gaz, avant de découvrir les idées de Louis de Broglie.

Une vie personnelle atypique

Bien que son mariage en 1920 avec Annemarie Bertel fût relativement heureux, tous deux eurent des relations multiples (et fréquemment durables), Annemarie avec Hermann Weyl en particulier, et Erwin avec Hildegarde (Hilde) March, épouse de son collaborateur Arthur March (1891-1957), tous vivant à certains moments sous le même toit. Hilde l’avait d’ailleurs accompagné au sanatorium d’Arosa (Schrödinger souffrit toute sa vie de tuberculose), où il établit l’équation qui porte son nom. Schrödinger eut d’ailleurs une fille de chacune de ses deux compagnes en 1933 et en 1934 (ainsi que d’au moins deux de ses étudiantes quand il fut professeur à Dublin). Quand il quitta l’Allemagne en 1933, il partit avec toutes les deux, ainsi qu’avec Arthur March pour qui il demanda un poste d’assistant à Oxford où lui-même venait d’obtenir un poste. Malgré le prestige que lui apporta le prix Nobel de physique en 1933, les autorités universitaires d’Oxford n’apprécièrent pas sa vie personnelle atypique, ni celles de Princeton qui lui avaient offert un poste en 1934. Il retourna brièvement en Autriche, à Graz en 1936, puis repartit après l’Anschluss à Oxford, à Gand puis finalement à Dublin en 1940 à l’invitation du président de la République d’Eire, Eamon de Valera. Il y resta jusqu’à sa retraite en 1956, puis il retourna à Vienne.

Erwin Schrödinger tentant d'expliquer sa situation familiale (© Zach Weiner)
Erwin Schrödinger tentant d’expliquer sa situation familiale (© Zach Weiner)

1926: une année exceptionnelle

Fortement impressionné par la thèse de doctorat de Louis de Broglie, Schrödinger la présenta à plusieurs reprises lors de séminaires en octobre et novembre 1925. Mais l’absence d’une équation d’onde pour les ondes de de Broglie était un gros handicap, comme Peter Debye l’avait remarqué, et il profita d’un séjour au sanatorium d’Arosa au cours de l’hiver 1925-1926 pour s’attaquer au problème.

☛ Décembre 1925: « Zur Einsteinschen Gastheorie » explique la statistique de Bose-Einstein en termes d’ondes de matière quantifiées. Les particules ne sont que des paquets d’ondes (Schrödinger s’intéresse à la possible dispersion du paquet d’ondes) et il n’y pas dualité particule-onde comme chez Einstein ou de Broglie.

☛ Janvier 1926: « Quantisierung als Eigenwertproblem« . Schrödinger ne parvient pas à écrire une formulation relativiste pour les ondes, et remet la question à plus tard. Quatre articles successifs au long de l’année (Ann. Phys. 79-361, Ann. Phys. 79-489, Ann. Phys. 80-437 et Ann. Phys. 81-109):

  • Équation de Schrödinger indépendante du temps et application aux niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène
  • Oscillateur harmonique, rotateur rigide, et molécule diatomique
  • Calcul perturbatif ☛ solutions approchées, effet Stark
  • Équation de Schrödinger dépendant du temps. Interprétation de la fonction d’onde (ou son module au carré) comme une densité de masse ou de charge de l’électron.

☛ Mars 1926: « Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen« (Sur le rapport entre la mécanique quantique de Heisenberg-Born-Jordan et la mienne, Ann. der Phys., 79-734) où il montre que les matrices peuvent être interprétées comme des opérateurs agissant dans l’espace des solutions de son équation. Il y spécule également sur la possibilité d’une compréhension classique de l’intensité du rayonnement émis par les atomes une fois mieux comprise la relation entre matière et rayonnement.

☛ Mars? 1926: « Der stetige Übergang von der Mikro- zur Makromechanik » (La transition continue de la micro à la macro-mécanique)  Naturwissenschaften, 14. Jahrg. Heft 28, S. 664-1926). Construction d’une particule comme un « paquet d’ondes », une superposition cohérente d’ondes, dont Schrödinger montra la stabilité au cours du temps, dans certaines conditions, et il l’appliqua à la diffusion de particules

Un chat célèbre

Son interprétation très matérielle des ondes de matière, selon laquelle les particules ne sont que des paquets d’ondes localisés, fut vite rejetée au profit de l’interprétation statistique avancée par Max Born, mais Schrödinger ne s’y rallia jamais. Certes, la fonction d’onde ψ ne « vit » pas dans l’espace physique mais dans l’espace de phase, mais cela ne semblait pas essentiel à Schrödinger. En 1935, dans un article faisant le point sur la théorie quantique et ses interprétations, il suggéra la célèbre expérience (de pensée!) du « chat à la fois mort et vivant » destinée à démontrer l’absurdité de l’interprétation probabiliste de la fonction d’onde et des idées défendues par Bohr et Heisenberg.

L'expérience du chat de Schrödinger, vue par Abstruse Goose
L’expérience du chat de Schrödinger, vue par Abstruse Goose

Des centaines (milliers ?) de livres, articles et plaisanteries diverses s’ensuivirent…

Qu’est-ce que la vie ?

À Dublin, Schrödinger travailla sur une théorie unifiée de la gravitation et de l’électromagnétisme, entretenant une correspondance suivie avec Einstein sur la question, et il crut y être arrivé en 1947, avant qu’Einstein lui montre son erreur.

Schrödinger fut aussi toute sa vie passionné de philosophie, celle de Schopenhauer d’abord, puis Spinoza et Kant avant de se tourner vers la fin de sa vie vers la philosophie hindoue, les Upanishads en particulier. Il exprima à plusieurs reprises (entre autres dans son livre de 1961 Ma conception du monde) sa conviction que la métaphysique était essentielle au physicien pour construire une image cohérente du monde.

Livre de SchrödingerSchrödinger était cependant athée, et il présenta en 1944 dans Qu’est-ce que la vie? une approche résolument matérialiste de la vie. Par un raisonnement de pur physicien et partant des idées de Max Delbrück sur la génétique des virus et des bactéries (qu’il contribue à populariser), il conclut à l’existence dans les chromosomes d’un « cristal apériodique », une macromolécule stable qui, au cœur des cellules, puisse se répliquer à l’identique et se transmettre immuable de génération en génération. Ce livre incita de nombreux physiciens (dont Max Delbrück et George Gamow sont les plus célèbres) à s’intéresser de près à la génétique moléculaire, et il influa beaucoup Crick, Watson et Wilkins. Il anticipait la découverte de la structure en double hélice de l’ADN une décennie plus tard puis du « code génétique ». Schrödinger poursuivit en 1956 dans L’esprit et la matière sur le rôle de la conscience et de l’éthique sur le développement darwinien, l’unité de la conscience, et la place de la religion.

 


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