Los Alamos: calcul numérique

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Calcul numérique

Les problèmes à résoudre

Le groupe T-5 dirigé par le mathématicien Donald Flanders était le groupe le plus nombreux de la division de théorie, rassemblant environ 25 personnes en 1944. Son personnel était en majorité féminin (des épouses de scientifiques et des femmes du Women’s Army Corps), mais il comprenait aussi des scientifiques militaires (le Special Engineering Detachment) et quelques brillants théoriciens comme Stanislaw Ulam, Richard Feynman ou Nicholas Metropolis. Les épouses des physiciens (comme Mary Frankel, Josephine Elliott, Beatrice Langer, Mici Teller, Jean Bacher, Betty Inglis) utilisaient plutôt le papier et le crayon, les professionnelles du WAC des calculatrices de bureau, et les spécialistes du SED (le plus souvent de jeunes étudiants) les tabulatrices à cartes perforées.

Calculs longs et complexes pour:

  • diffusion (transport) des neutrons
  • transferts de rayonnement
  • implosion, détonation
  • explosion, hydrodynamique boule de feu, onde de choc

Les problèmes d’hydrodynamique conduisent à des équations aux dérivées partielles hyperboliques non- linéaires. Les solutions peuvent présenter des discontinuités, et il peut être risqué de remplacer une équation différentielle par une équation aux différences finies, car les dérivées peuvent devenir infinies. Les machines à cartes perforées étaient utilisées pour les parties régulières des flux, aussi longtemps que possible, et le raccord aux discontinuités (le front de l’onde de choc) était effectué à la main. Les problèmes étaient souvent traités en 1 dimension, soit en supposant une symétrie sphérique, soit une symétrie cylindrique (avec un cylindre infini), rarement en 2 dimensions (et jamais en 3). Des hypothèses simplificatrices étaient nécessaires pour ramener le problème à une forme soluble, généralement en passant d’équations aux dérivées partielles à des équations différentielles, plus simples, et/ou en paramétrant la forme des surfaces. Mais de cette manière, on risquait de passer à côté des instabilités naissant à la jonction de deux surfaces (Rayleigh-Taylor en particulier).

Le calcul du transport des neutrons aboutissait à une équation intégro-différentielle linéaire : la variation du nombre de neutrons en un point, ayant une vitesse donnée, dépend de la diffusion dans toutes les directions de tous les neutrons passant par ce point. Quand le problème avait une symétrie spatiale (sphérique de préférence) et que la longueur de diffusion (libre parcours moyen) était petite, le problème était à peu près soluble. Mais il se compliquait rapidement si la géométrie n’était pas homogène, les centres diffuseurs en mouvement, la longueur de diffusion comparable à la taille du système, ou plus grande, et si le nombre de neutrons n’était pas très grand (limite discrète). Cette situation se trouve précisément réalisée pour une masse légèrement supercritique, si l’on veut calculer la probabilité qu’un neutron initie une réaction en chaîne avant d’être absorbé ou de s’échapper (ou de provoquer une fission mais que tous les neutrons secondaires s’échappent). C’est pour résoudre ce genre de situation que la méthode de Monte-Carlo fut inventée. Mais avant cela, Robert Serber et Robert Wilson mirent au point une méthode semi-analytique, avec des fonctions hyperboliques et des exponentielles intégrales (remplacée ensuite par celle de Bengt Carlson dans les années 1950).

Franken et Nelson développèrent des méthodes de discrétisation des équations aux dérivées partielles nécessaires au calcul numérique, en décomposant les calculs complexes en plusieurs calculs simples distribués aux calculateurs humains. Pour éviter les erreurs, les calculs à mener étaient décomposés en tâches élémentaires, et ils étaient systématiquement exécutés par deux (ou trois) personnes indépendamment, avec des vérifications intermédiaires pour éviter de propager des erreurs. De nombreux calculs pouvaient être parallélisés : pour la résolution numérique des équations différentielles en hydrodynamique, par exemple, il était relativement facile de donner à chaque personne un des « pas » de l’itération des équations en un point de l’espace, et de lui demander de transmettre son résultat à la personne suivante dans le réseau. Flanders mit au point des feuilles spéciales facilitant la mise en place et l’exécution de ces calculs.

Calculatrices à main

Calculatrices Marchant
Calculatrice Marchant

Pour l’exécution des calculs eux-mêmes, si la règle à calcul demeurait l’outil de base des physiciens et des ingénieurs, le principal outil était l’ordinateur humain multiprocesseur, réalisé par les équipes de calculatrices (humaines et mécaniques) qui utilisaient des machines de bureau. La règle à calcul avait cependant l’avantage d’obliger à réfléchir aux ordres de grandeur des résultats attendus, avant de se lancer dans des calculs longs et complexes. Il n’y eut pas d’analyseurs différentiels à Los Alamos, mais des calculatrices de bureau électromécaniques, et aussi un petit nombre de machines à cartes perforées (à vocation initialement comptable ou statistique, Bureau of Census). Le premier ordinateur électronique, ENIAC, ne fut utilisé que dans les derniers mois de la guerre, et encore à distance (Aberdeen Proving Grounds ou Moore School ?).

Publicité des années 1940 pour une calculatrice Friden ST
Publicité des années 1940 pour une calculatrice Friden ST
Calculatrice Monroe
Calculatrice Monroe

Le parc initial de calculatrices comprenait des modèles Marchant, Monroe et Friden, les meilleurs disponibles à l’époque, mais Flanders le standardisa rapidement en choisissant des modèles Marchant (quelques irréductibles conservèrent leur Monroe). En raison de leur utilisation extrêmement intensive, les calculatrices mécaniques ou électromécaniques s’usèrent rapidement et elles s’enrayèrent de plus en plus souvent.

Richard Feynman en 1945
Richard Feynman en 1945

Mais les renvoyer au fabricant pour réparation prenait trop de temps (Los Alamos était très isolé), aussi Metropolis et Feynman se mirent-ils à les désosser, à comprendre leur fonctionnement interne, et à déterminer quelles pièces étaient le plus souvent responsables des pannes. Ils devinrent ainsi rapidement des virtuoses du dépannage. Quand Bethe, directeur de la division de théorie, apprit cela, il estima que ces activités n’avaient pas de rapport avec les tâches pour lesquelles ils avaient été affectés à Los Alamos. Il commença par les exclure de l’atelier de réparation, mais il leva très vite l’interdiction quand le nombre de machines de bureau disponibles diminua de manière critique.

Tabulatrices IBM à cartes perforées

À l’automne 1943, il devint rapidement apparent que les besoins en calcul numérique dépassait les capacités des calculatrices mécaniques : il fallait compter six à huit mois pour effectuer le calcul nécessaire pour chacune des formes non-sphériques. Bethe mentionna ce problème lors d’une réunion des responsables de Los Alamos. Le responsable de la logistique à Los Alamos, Dana Mitchell, avait travaillé à Columbia avec l’astronome Wallace John Eckert, qui utilisait depuis une dizaine d’années des tabulatrices IBM à cartes perforées pour effectuer de longs calculs astronomiques portant sur le mouvement des planètes et l’établissement d’éphémérides. Ne pas confondre W.J. Eckert avec J. Prespert Eckert, co- inventeur avec John Mauchly de l’ENIAC, le premier calculateur électronique programmable.

IBM 601, capable de réaliser une multiplication par seconde
IBM 601, capable de réaliser une multiplication par seconde

Répondant à la demande de Bethe, Mitchell estima que la durée d’un calcul serait réduite de six mois à quatre semaines avec des tabulatrices IBM 601, et il en commanda 3 en décembre. Elles arrivèrent en avril 1944, et furent immédiatement mises à contribution (mais pour les calculs relatifs à l’implosion). Metropolis et Feynman doutèrent de leur utilité, et ils organisèrent un concours entre machines à cartes perforées et dames armées de calculatrices Marchant. Devant exécuter les mêmes calculs, les deux équipes restèrent au coude à coude pendant la première journée, mais la fatigue se fit sentir et les calculatrices humaines prirent un retard croissant. Cette compétition avait surtout pour but de vérifier que la procédure employée avec les tabulatrices donnait bien les mêmes résultats que la procédure éprouvée avec les calculatrices à main. Le groupe T-5 fut alors réorganisé : pour tirer le meilleur parti des nouvelles machines, un groupe T-6 fut créé sous la direction de Frankel et le rythme de travail ne cessa de s’accélérer.

L'intérieur d'une IBM 601
L’intérieur d’une IBM 601

En raison du secret, IBM ne savait pas à quoi allaient servir les machines, et ne put envoyer une équipe pour les monter et les mettre en service. Feynman, Frankel et Nelson durent terminer eux-mêmes le montage à partir des schémas de câblage. La mathématicienne Naomi Livesey arriva de l’université de l’Illinois à Urbana-Champaign en février 1944 pour superviser l’équipe de civils et de militaires en charge des machines. Elle avait acquis une bonne expérience des tabulatrices IBM en effectuant des études statistiques et des sondages pour estimer les coûts de diverses administrations pour le compte de Princeton Surveys (relevant de la School of Public and International Affairs de l’université de Princeton). Elle fut assistée à partir de l’été par Eleanor Ewing qui enseignait les mathématiques chez Pratt & Whitney.

Une IBM 405 capable de lire des cartes perforées, d’effectuer des calculs sur les données, et d’imprimer les résultats
Une IBM 405 capable de lire des cartes perforées, d’effectuer des calculs sur les données, et d’imprimer les résultats

Le groupe disposa au printemps 1944 de trois IBM 601, capables de lire sur une carte perforée deux nombres de 8 chiffres, de les multiplier et de perforer le résultat sur la même carte, le tout en une seconde. L’IBM 601 pouvait également effectuer des additions et des soustractions, calculer un inverse (et donc effectuer une division). L’IBM 601 fut l’outil de base du groupe T-6, mais le groupe disposa également de machines limitées aux additions et soustractions (IBM 405), de perforatrices (IBM 031), de duplicatrices de cartes (IBM 513) et de trieuses (IBM 075).

Trieuse de cartes IBM 075
Trieuse de cartes IBM 075
La petite perforatrice IBM 031 © IBM
La petite perforatrice IBM 031 © IBM

Avec cet arsenal, les calculs qui prenaient six mois purent être effectués en trois semaines, et l’optimisation des méthodes de calcul permit de ramener ce temps à trois jours à la fin de la guerre. Feynman remarqua que certains calculs commençaient sur une machine, par une multiplication par exemple, puis continuait sur une deuxième, par une addition, puis sur une troisième… avant de revenir à la première pour une nouvelle multiplication. Il eut l’idée d’utiliser des cartes de couleurs différentes (pour éviter de les mélanger) qui parcouraient le même cycle mais avec un décalage de un, deux et trois rangs, ce qui multipliait par quatre la vitesse de calcul (dans cet exemple). Cependant, l’ensemble des calculs nécessaires à la mise au point de l’implosion dura quand même plusieurs mois, et ils n’auraient jamais pu être menés à bien sans ces machines.

Les nombres étaient représentés par un signe, un chiffre, sept décimales et un exposant (en fait 50 + le vrai exposant), et on entrait le premier opérande, l’opération puis le second opérande, la machine donnant le résultat. Des fonctions plus complexes (racine, puissance, sinus, exponentielle, logarithme) pouvaient être câblées à la manière d’un standard téléphonique. L’opérateur, assis devant la machine, installait les paquets de cartes, recalait si nécessaire, surveillait les listings et intervenait en cas de panne. L’Armée avait fourni un réparateur agréé IBM, un GI mobilisé, mais pannes intermittentes et, pire, erreurs de calcul, étaient très fréquentes (de l’ordre de une tous les trois pas d’intégration). Les relais étaient en effet sensibles à la poussière et aux vibrations des camions qui ne cessaient de passer sur la route mal pavée devant le bâtiment. Il s’avéra plus indispensable que jamais de dupliquer systématiquement tous les calculs.

Duplicatrice IBM 513 analogue à celle de la division de théorie à Los Alamos
Duplicatrice IBM 513 analogue à celle de la division de théorie à Los Alamos

Pour aller plus vite, la division T commanda en mai 1944 à IBM des machines « sur mesure » capable d’effectuer des multiplications multiples, ainsi que des divisions. Nelson rencontra même en juin à New York le vice-président d’IBM, John McPherson, pour préciser ses demandes et les nouvelles machines arrivèrent à Los Alamos à la fin de 1944.

Frankel contracta ce que Feynman appela «la maladie des ordinateurs», se passionnant pour leur fonctionnement et les manières de l’améliorer, en perdant de vue leur finalité pratique. Après la guerre, il se consacra d’ailleurs entièrement aux ordinateurs. Ses relations étaient difficiles avec les personnels sous ses ordres, en particuliers les appelés du SED. Bethe confia alors la direction du groupe T-6 à Feynman, qui expliqua aux jeunes militaires les objectifs de leur travail, développer une arme pour terminer la guerre plus vite, ce qui les passionna et les amena à mettre aux point des méthodes de calcul de plus en plus efficaces.

Calculs numériques

La simulation de l’onde de choc de l’implosion nécessitait la résolution d’une équation hyperbolique aux dérivées partielles. La symétrie sphérique permettait de se ramener à une dimension d’espace seulement (et une dimension de temps), sauf bien sûr à l’interface entre les deux types d’explosifs (« lent » et « rapide »). Les machines n’étaient programmées que pour calculer l’évolution de l’onde de choc dans le matériau homogène, et le calcul de la transition à l’interface était effectué à la main, en général en parallèle par Naomi Livesey et par Tony Skyrme (de la mission britannique). Cela leur prenait 6 à 8 heures, puis ils comparaient leurs résultats avant de les introduire à nouveau dans la machine pour la suite des calculs. L’expérience aidant, ce calcul d’interface fut abandonné quand il apparut que les solutions numériques des équations se stabilisaient rapidement après leur traversée.

Ulam, Feynman et von Neumann
Ulam, Feynman et von Neumann

La procédure numérique consistait à évaluer l’équation différentielle en un certain nombre de points de l’espace (en une dimension seulement) ce qui donnait une pile de cartes perforées représentant l’état de l’implosion à un instant donné. Le passage de cette pile à travers la série de machines, chacune effectuant une opération élémentaire (addition, soustraction, multiplication ou division), correspondant à un pas d’intégration temporelle, et il engendrait une nouvelle pile de cartes. Il ne restait qu’à répéter l’opération pour suivre le développement de l’implosion puis de l’explosion. Chaque configuration du cœur, de l’enveloppe (tamper) et des explosifs nécessitait un calcul séparé.

Le premier calcul d’implosion sur les IBM dura 3 mois, de février avril 1944, et il concerna la simulation d’un cœur creux, l’idée initiale précédant celle de Christy d’un cœur plein. 7 autres calculs se déroulèrent jusqu’à la fin de 1944, concernant surtout le cœur plein de Christy, et 17 autres en 1945 (cœur plein puis « levitated pit » en mars et premiers essais de miniaturisation). Ces calculs furent validés par l’essai Trinity. Les machines fonctionnaient 24h/24 (mais 6 jours sur 7 seulement) grâce à 3 équipes du SED qui se relayaient.

Pour gagner du temps, la division T-6 procéda à des simulations exploratoires d’un grand nombre de configurations puis, en fonction des résultats, elle se focalisa sur une configuration particulière sur laquelle fut menée une simulation beaucoup plus détaillée. Cette configuration, Mark III, fut celle de Fat Man (Mark I était Little Boy et Mark II une autre configuration d’implosion, inférieure à Mark III et jamais réalisée). Les calculs théoriques furent largement menés indépendamment des expériences, par manque de temps.

Programmation d’une opération complexe sur une IBM 601 à Los Alamos
Programmation d’une opération complexe sur une IBM 601 à Los Alamos

Von Neumann se passionna pour l’utilisation des cartes perforées et il s’initia à leur emploi avec Livesey et Ewing, dont il partageait le bureau lors de ses passages à Los Alamos. Metropolis raconte qu’il était très irrité par le câblage des IBM : il rendait possible la réalisation d’opérations en parallèle, mais il fallait être très attentif à la durée relative de ces opérations, et von Neumann en conclut qu’il était préférable de ne pas avoir recours aux opérations en parallèle dans les ordinateurs électroniques qu’il conçut par la suite (architecture « de von Neumann »). Par la suite, von Neumann se passionna pour les calculateurs électromécaniques à relais, le Relay Computer de George Stiblitz aux Bell Labs, et surtout le Mark I de Howard Aiken à Harvard (initialement construit d’ailleurs de 1939 à 1943 chez IBM sous le nom d’Automatic Sequence-Controlled Computer). Un des calculs exécutés à Los Alamos fut testé au printemps 1944 sur le Mark I : le calcul dura en fait plus longtemps, mais avec une précision numérique très supérieure. Le Mark I mettait 1/3 s pour faire une addition, 6 s pour une multiplication et une minute pour un log ou un sinus. C’était une machine imposante : 15 mètres de long, 5 tonnes, 750 000 composants, 2200 roues de registres, 3300 relais, 800 kilomètres de câblage.

Le Harvard Mark I (ou IBM ASCC) de Howard Aiken, à Harvard aujourd’hui
Le Harvard Mark I (ou IBM ASCC) de Howard Aiken, à Harvard aujourd’hui
Neumann János, ou John von Neumann, (1903-1957) à l’époque de Los Alamos© LANL
Neumann János,(1903-1957) à l’époque de Los Alamos© LANL

Neumann János, ou John von Neumann, né à Budapest, PhD en maths en 1926 à Budapest, part à Berlin puis aux USA où il devient (avec Einstein et Gödel) un des membres fondateurs de l’IAS de Princeton en 1933. Travaux en logique mathématique, théorie axiomatique des ensembles, fondations mathématiques de la mécanique quantique en 1932, économie et théorie des jeux en 1944, informatique en 1944 (l’architecture de tous les ordinateurs suit les règles établies par von Neumann) et stratégie nucléaire militaire (théorie de la « destruction mutuelle assurée ») dans les années d’après guerre.

Von Neumann jouait le rôle d’expert en ondes de choc auprès de l’OSRD et auprès de l’Armée (tant au Bureau of Ordnance qu’au Balistique Research Laboratory à Aberdeen dans le Maryland). C’est d’ailleurs par ce canal qu’il apprit d’Herman Goldstine l’existence du projet ENIAC de calculateur électronique pour la mise au point de tables de tir (à l’époque, une centaine de femmes, armées de calculatrices électromécaniques, calculaient les trajectoires des obus, à raison de 750 calculs par trajectoire, ce qui leur prenait deux semaines ; une table standard – pour un canon et un obus donnés – contenait 3000 trajectoires et il fallait quatre ans à l’équipe pour l’achever). Cela ressemblait beaucoup aux problèmes de calcul rencontrés à Los Alamos, et il n’est pas surprenant que von Neumann ait immédiatement voulu utiliser l’ENIAC, mais il ne fut achevé que fin 1945. Il n’était pas programmable, la séquence de calculs étant déterminée par le choix des branchements et la position des interrupteurs pour chacune des milliers d’étapes. Les données étaient fournies et stockées sur des (millions de) cartes perforées. Von Neumann contribua à ses successeurs, l’EDVAC, qui était programmable, puis l’IAS Machine et ses dérivés (ILIAC, MANIAC).

Evolution des ordinateurs
Évolution de la puissance (mesurée en nombre d’instructions exécutées par seconde) des ordinateurs depuis 1940 montrant l’accroissement exponentiel (loi de Moore): un ordinateur portable actuel (Intel Core i7) est cent milliards de fois plus puissant que l’ensemble de la division T de Los Alamos au temps du programme Manhattan

Fusion ?

Le groupe de Teller, dans la division T puis dans la division F après la réorganisation de l’été 1944, avait peu à peu réalisé que la complexité des calculs était beaucoup plus grande pour la fusion que pour la fission. Il ne suffisait pas de suivre la diffusion de neutrons dans un matériau neutre et quasi-statique, mais de particules chargées (les noyaux) dans un plasma, la notion de masse critique était remplacée par celle de température d’allumage (et la température variait dans tout le volume), et il fallait s’assurer que la combustion était auto-entretenue et ne s’éteignait pas. L’estimation des opacités nucléaires était un problème crucial, et en avril 1945 Teller demanda pour cela l’aide de Maria Goeppert-Mayer à Columbia et celle d’Eckert (à Columbia aussi) pour les calculs (les IBM de Los Alamos étant réservées aux calculs d’implosion). Les Frankel et Metropolis passèrent l’été 1945 à préparer les calculs d’allumage du deutérium (en 1 dimension supposant une symétrie sphérique), puis ils modifièrent le codage pour l’ENIAC : ce fut le premier calcul mené sur cette machine et il dura 6 semaines (décembre 1945-janvier 1946).

En raison des nombreuses simplifications nécessaires (Compton inverse négligé, bremsstrahlung simplifié, réchauffement du deutérium par celui qui fusionnait négligé), le résultat n’était concluant ni dans un sens ni dans l’autre : l’allumage du deutérium par une bombe à fission semblait malgré tout très improbable. Une conférence se déroula en avril 1946 (rapport secret LA-575) pour faire le point, les conclusions optimistes de Teller étant critiquées, par Serber en particulier.

The design at that time was for a gun-type uranium fission bomb to be surrounded by about a cubic meter of liquid deuterium, with the whole assembly being encased in a heavy tamper. A large but undetermined amount of tritium would be required to ignite the reaction.

 

 


Contact: lettreani
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