Le corps noir

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Le lien entre lumière et chaleur est connu depuis que des flammes ont été observées. Dans son traité d’optique, Newton s’interrogeait: « Tous les corps fixes n’émettent-ils pas de la lumière et ne brillent-ils pas quand ils sont chauffés au-delà d’un certain point? Et cette émission n’est-elle pas due à la vibration de leurs parties? »

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Kirchhoff

La dispersion de la lumière du soleil par un prisme -ou une goutte d’eau- était connue depuis longtemps, mais la raison de ces couleurs demeurait inconnue.

Dispersion de la lumière par un prisme
Dispersion de la lumière par un prisme

La spectroscopie moderne commença en 1819 avec les travaux de Joseph Fraunhofer (1787-1826) et son identification des raies sombres dans le spectre du Soleil.

Raies du spectre solaire
Raies du spectre solaire

Les raies se révélèrent caractéristiques de la nature chimique du corps qui les émet, de sa température et de sa vitesse.

Après Foucault qui établit en 1849 la correspondance entre les raies d’émission d’un corps et les raies d’absorption par le même corps, Gustav Kirchhoff (1824-1887) établit en 1859 les 3 lois de la spectroscopie :

  • Objet chaud ☞ spectre continu
  • Gaz excité ☞ spectre de raies
  • Objet froid ☞ raies d’absorption
Les 3 lois de Kirchhoff
Les 3 lois de Kirchhoff de la spectroscopie (© Wikipedia)

Deux voies différentes s’ouvrirent alors:

  1. l’étude de l’émission continue, thermique, également amorcée par Kirchhoff, allait conduire Stefan (1879), Boltzmann (1884), et Wien (1894) à établir les lois du « corps noir », puis Planck (1900) et surtout Einstein (1905) au « quantum de lumière », et de là de Broglie (1924) et Schrödinger (1926) à la mécanique ondulatoire.
  2. l’étude des raies spectrales, où les travaux de Kirchhoff et Bunsen (1860), Balmer (1885), Rydberg (1888) allaient conduire Bohr à proposer en 1913 son modèle atomique, puis Heisenberg sa mécanique des matrices en 1925.

Les deux voies restèrent longtemps conceptuellement indépendantes car l’idée que la lumière soit composée de particules au même titre que la matière fut longue à s’imposer. La découverte de l’électron comme constituant de la matière, dans les rayons cathodiques d’abord, puis dans les rayons bêta et dans les atomes, fut suivie de l’identification du proton, puis du neutron comme autres constituants de la matière, et l’addition ensuite des neutrinos et des mésons ne posa pas de problème majeur. Mais la lumière était une onde électromagnétique et la possibilité qu’elle soit aussi une particule, le photon, ne s’imposa pas avant le milieu des années 1920 quand les deux voies furent unifiées par Dirac dans la mécanique quantique (1926) puis la théorie quantique des champs peu après.

Gustav Robert Kirchhoff
Gustav Robert Kirchhoff

De l’étude de l’absorption et de l’émission de la lumière par un corps chauffé, Kirchhoff montra que le rayonnement thermique ne dépendait que de la température du corps émetteur. Ce « théorème » était d’abord empirique: un bon émetteur est toujours un bon absorbant. Plus quantitativement, il apparaissait une corrélation entre l’énergie absorbée Eabs(ν,T) et l’énergie (ré)émise Eem(ν,T), et le rapport A(ν,T) entre les deux semblait ne dépendre que faiblement de la fréquence ν du rayonnement et de la température T. Il ne dépendait pas non plus de la nature du corps en question, ce que Kirchhoff expliqua en montrant que cela permettrait, dans le cas contraire, de construire un mouvement perpétuel de 2° espèce : deux corps à la même température qui émettraient différemment du rayonnement pourraient ainsi échanger de l’énergie et ainsi violer le 2° principe de la thermodynamique (la non-diminution de l’entropie dans un système isolé).

FlammesKirchhoff définit alors un absorbant parfait (le « corps noir ») comme étant un corps où ce rapport A(ν,T) = 1. Et il définit en 1860 un programme de recherche:

  • déterminer expérimentalement la forme ρ(ν,T) du spectre du corps noir;
  • expliquer théoriquement cette forme à partir de la thermodynamique et la théorie de la lumière (vite ramenée à l’électromagnétisme par Maxwell).

L’accord des résultats semble montrer que la lumière et le magnétisme sont deux phénomènes de même nature et que la lumière est une perturbation électromagnétique se propageant dans l’espace suivant les lois de l’électromagnétisme. (Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, 1865)

Schéma d'un corps noir
Schéma d’un corps noir

Les difficultés expérimentales du programme de Kirchhoff étaient énormes. Réaliser un corps noir était un premier défi à relever, et la meilleure approximation se révéla une cavité pratiquement fermée, capable de piéger à l’intérieur tout rayonnement incident.

Les méthodes photométriques en étaient à leurs débuts, et réaliser un détecteur de rayonnement d’une sensibilité suffisante se révéla ardu. D’autant plus que les mesures devaient pouvoir se faire aussi en dehors du domaine optique (la lumière visible) en s’étendant à l’ultraviolet d’un côté et à l’infrarouge de l’autre.

Les progrès expérimentaux furent cependant rapides. À partir des mesures de Dulong et Petit, et surtout de celles de John Tyndall sur la « chaleur radiante » des gaz, Jožef Stefan (1835-1893) put suggérer en 1879 que l’énergie rayonnée variait comme la puissance quatrième de la température absolue du corps. En fait, les matériaux utilisés par Tyndall n’étaient pas d’excellents corps noirs, et ses mesures n’étaient pas exemptes d’erreurs, mais cela se compsensait et la loi que Stefan en avait déduit était correcte.

Ludwig Boltzmann, qui fut l’élève de Stefan, démontra cette relation en 1884 par des considérations thermodynamiques originales, traitant la lumière exactement comme un gaz de particules. Les équations de Maxwell conduisent en effet à attribuer à la lumière une densité d’énergie U=E/V et une pression P = U/3. La relation de base de la thermodynamique des gaz,

dE = TdS – PdV = VdU + UdV

où S est l’entropie et V le volume du « gaz de lumière », conduit à dS = 4PdV/T + 3VdP/T, donc à identifier ∂S/∂V = 4P/T et ∂S/∂P = 3V/T. Les dérivées croisées ∂2S/∂V∂P et ∂2S/∂P∂V sont égales, et la pression P ne dépend que de la température T et non du volume V (puisque P=U/3) d’où:

dP/dT = 4P/T ⇒ P ∝ T4

⇒ U = σ T4

La constante de proportionnalité σ s’appelle la constante de Stefan-Boltzmann et vaut σ = 5.67×10-8 W m-2 K-4. Sa valeur découle en fait du spectre de Planck ☞ σ = 2π5k4/15h3c2 (k = constante de Boltzmann, h = constante de Planck)

Ludwig Boltzmann (1844-1906)
Ludwig Boltzmann (1844-1906)

Wien

Cela ne donnait pas la forme ρ(ν,T) du spectre. Il existait cependant une corrélation manifeste entre la couleur d’une source chaude et sa température: quand celle-ci augmentait, la couleur passait du rouge au bleu et au blanc (« chauffé au rouge », « chauffé à blanc »).

Changements de couleur de la flamme d'un bec Bunsen en augmentant la température
Changements de couleur de la flamme d’un bec Bunsen en augmentant la température

Ce ne fut pas simple à quantifier car, aux températures utilisées (entre 300 K et 2000 K au mieux), le maximum d’émission se trouve dans l’infrarouge. Pour que ce maximum soit dans la zone de lumière visible (domaine optique), il faut des températures bien plus élevées, de l’ordre de 6000 K comme dans le cas du Soleil, ou de flammes très chaudes.

Émission d'un corps chauffé à 2000 K (~1700 °C)
Émission d’un corps chauffé à 2000 K (~1700 °C)
Émission d'un corps chauffé à 6000 K (~5700 °C)
Émission d’un corps chauffé à 6000 K (~5700 °C)

Dans les années 1880, il apparut que le spectre du corps noir passait par un maximum à une fréquence νmax (ou de manière équivalente à une longueur d’onde λmax = c/νmax, où c est la vitesse de la lumière). Cette fréquence νmax augmentait avec la température. Wien put conclure que la relation était une simple relation de proportionnalité

νmax = aT

(dite loi de Wien). Son raisonnement était purement thermodynamique: il examina ce qui se passerait dans une enceinte dont le volume varierait adiabatiquement. D’une part la température d’équilibre changerait, et d’autre part les fréquences du rayonnement réémis par les parois en mouvement seraient décalées par effet Doppler.

Numériquement, νmax = [5.88*1010 Hz] T pour une température T en kelvins, et la longueur d’onde correspondant λmax = c/νmax = [2.3*10-3 m]/T.

Pour un corps tiède à T = 300 K, le maximum d’émission est à 10 µm, dans l’infrarouge lointain, tandis que maximum d’émission d’une flamme à 1500 K est à 2000 nm, dans l’infrarouge proche (la distribution d’énergie s’étend à la partie visible du spectre, mais une flamme chauffe plus qu’elle n’éclaire, de même qu’une ampoule à incandescence).

Pour la forme du spectre du corps noir, Wien proposa en 1894 la forme semi-empirique:

ρ(ν,T) = ν3 f(ν/T)

Le coefficient ν3 conduit à la loi de Stefan-Boltzmann, en intégrant sur sur toutes les fréquences de zéro à l’infini, et quelle que soit la fonction universelle f(ν/T), restant à déterminer, elle conduit à la loi de Wien du déplacement du maximum νmax = aT .

Wilhelm Wien (1864-1928)
Wilhelm Wien (1864-1928) en 1911

De nombreuses tentatives, mêlant thermodynamique et électrodynamique, s’efforcèrent d’établit la forme de la fonction inconnue f(ν/T), sans guère de succès. En 1896, Wien proposa la forme empirique suivante:

f(ν/T) = exp{– β ν/T }

ou ρ(ν,T) = α ν3 exp{– β ν/T }

avec deux constantes α et β à déterminer expérimentalement. Cette forme passe par un maximum νmax = 3T/β ➛ β = 3 K/[5.88*1010 Hz]. Estimer α était un peu plus difficile, demandant une excellente photométrie absolue. La forme suggéré par Wien reproduisait très bien les mesures de l’émission du corps noir, qui se trouve en partie dans le domaine visible (optique) et ultraviolet pour des températures allant de 600 à 1800 K.

Spectre du corps noir donné par Wien, Rayleigh et Planck
Spectre du corps noir donné par Wien, Rayleigh et Planck

 


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