Einstein et les quanta de lumière

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Quanta de lumière

Albert Einstein en 1904
Albert Einstein en 1904

Dans son premier article de 1905 Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (Sur un point de vue heuristique concernant la production et la transformation de la lumière), consacré en fait à l’effet photoélectrique, Einstein aborda la formule de Planck. Il admettait qu’elle était en parfait accord avec les observations, mais il fut un des premiers à attirer l’attention sur les failles de la dérivation que Planck en avait donné. Il indiquait en effet que l’équilibre thermique entre rayonnement et matière

E(ν,T)=ρ(ν,T) c3/8πν2

et l’équipartition de l’énergie

E= kT

conduisaient inévitablement à la solution de Rayleigh

ρ(ν,T) = 8π/c3 ν2kT

(dont il donnait d’ailleurs le coefficient). Rayleigh avait ajouté l’exponentielle exp{– β ν/T} introduite par Wien, pour améliorer l’accord avec les expériences, sans toutefois y parvenir de manière satisfaisante comme Rubens et Kurlbaum l’avaient rapidement montré.

Einstein tenta ensuite de trouver l’origine théorique de cette exponentielle, et son approche revint essentiellement à montrer qu’elle était exactement celle que la thermodynamique statistique de Maxwell et Boltzmann prévoirait pour un gaz de particules indépendantes en équilibre thermique à la température T et ayant chacune une énergie E=hν:

  • Maxwell-Boltzmann: exp{-E/kT}
  • Wien: exp{-β ν/T}

Einstein disait en fait que « tout se passait comme si » la lumière (à haute fréquence en tout cas, dans le domaine de Wien) se comportait comme un ensemble de particules, ce qu’Einstein appela « l’hypothèse des quanta de lumière » (Lichtquanten). Dans un deuxième temps, Einstein suggérait que ces quanta pouvaient également jouer un rôle dans l’interaction (émission et absorption) de la lumière avec la matière. Le saut conceptuel de Planck à Einstein était considérable: la quantification de Planck ne concernait que les interactions entre matière et rayonnement, mais pas le comportement du rayonnement pur, alors qu’Einstein n’excluait pas une quantification du rayonnement lui-même. Il était ainsi prêt à admettre, au moins provisoirement, que la lumière soit physiquement formée d’objets d’énergie hν, les quanta de lumière, et il utilisa ce concept pour résoudre la question de l’effet photoélectrique.

Le terme « quantum de lumière » fut remplacé par celui de « photon », introduit en 1926 par le chimiste Gilbert Lewis:

I therefore take the liberty of proposing for this hypothetical new atom, which is not light but plays an essential part in every process of radiation, the name photon. (Lewis, Nature 1926).

Lewis est surtout connu pour ses travaux conduisant aux notions modernes d’acides et de bases (« de Lewis ») et à celle de liaison covalente, mais il proposa aussi cette théorie, très vite abandonnée, dans laquelle les photons étaient des particules indestructibles constitutives de la matière et n’étant que très occasionnellement porteuses « d’énergie radiante ». Soit l’exact contraire des Lichtquanten d’Einstein… mais le mot photon fut immédiatement adopté pour le décrire: la 5° conférence Solvay en 1927 avait pour thème « Électrons et photons ».

Einstein était parfaitement conscient du conflit entre ses quanta et les expériences qui prouvaient la théorie ondulatoire de la lumière, comme les interférences, et il considérait comme temporaire le concept de quanta:

J’insiste sur le caractère provisoire de ce concept qui ne semble pas réconciliable avec les conséquences expérimentalement vérifiées de la théorie ondulatoire (Einstein, 1911, 1° Congrès Solvay)

Il conserva cette attitude jusqu’à la fin de sa vie.

A posteriori, nous savons que la statistique de ces quanta ne suit pas la forme de Maxwell-Boltzmann mais celle de Bose-Einstein (qui conduit justement à la forme 1/[ex-1]) et qu’ils ne sont pas complètement indépendants du point de vue quantique parce qu’ils sont indiscernables, ce qui induit une corrélation. La dérivation d’Einstein suppose également, implicitement, que ces quanta de lumière sont conservés (sinon ce n’est pas la forme de Maxwell-Boltzmann qui apparaîtrait, il y aurait un terme additionnel). Mais ces deux erreurs sont en fait négligeables dans le domaine de Wien.

L’article d’Einstein de 1905 ne portait qu’indirectement sur la formule de Planck, le cœur de l’article concernant l’effet photoélectrique.

Émission et absorption  de lumière par les atomes

Entre 1905 et 1915, Einstein ne cessa pas de réfléchir à la question des quanta de lumière, mais l’essentiel de son activité concerna la relativité restreinte d’abord, puis le principe d’équivalence et la relativité générale. Il revint en 1916 à l’interaction entre lumière et matière avec comme objectif premier de démontrer que le spectre de Planck était bien la distribution d’énergie d’un rayonnement en équilibre thermique.

Il ne fit aucune hypothèse restrictive sur la nature de la matière, la considérant simplement comme une collection d’atomes ou de molécules (qui pouvaient être, ou non, les dipôles oscillants de Planck). Ce gaz d’atomes étant en équilibre thermique, sa distribution en énergie suit une distribution de Maxwell-Boltzmann et le nombre N(E) d’atomes d’énergie E à la température T est donc de la forme:

N(E,T) = n(E) exp{-E/kT}

où n(E) est un facteur de normalisation indépendant de la température. L’interaction de ce gaz d’atomes avec la lumière leur permet d’acquérir ou de perdre de l’énergie, et Einstein distingua deux types possibles de transition:

  • une émission spontanée, dans laquelle un atome passe spontanément (indépendamment du rayonnement ambiant) d’une énergie E à une énergie E’ (nécessairement inférieure à E), en émettant un quantum de lumière porteur de la différence d’énergie E-E’.
Émission spontanée
Émission spontanée
  • une émission induite (ou émission stimulée) par l’interaction avec le rayonnement ambiant, qui peut aussi bien être l’absorption que l’émission d’un quantum de lumière.
Émission stimulée
Émission stimulée
Absorption d'un photon
Absorption d’un photon

Le modèle atomique de Bohr ne faisait aucune prédiction sur le nombre de transitions par atome par unité de temps (on dirait aujourd’hui la probabilité de transition), ce qui est une grave lacune car ce nombre est ce qui permettrait de calculer l’intensité des raies spectrales. L’observation indique en effet que toutes les raies n’ont pas la même intensité, certaines sont très brillantes alors que d’autres sont à peine visibles, ce qui implique que certaines transitions sont beaucoup plus fréquentes que d’autres. Einstein ne s’attaqua pas à ce problème, notant simplement que le nombre de transitions devrait pouvoir être calculé dans une théorie quantique de la matière et du rayonnement, mais que celle-ci était alors inexistante.

Einstein définit deux coefficients inconnus A et B, correspondant aux transitions spontanée et induite, et il écrivit le nombre de transitions par unité de temps de E vers E'<E sous la forme:

W(E➛E’) = N(E) [ A(E➛E’) + B(E➛E’) ρ(ν,T) ]

où ρ(ν,T) est la densité de quanta de lumière. Le nombre de transitions par unité de temps dans l’autre sens, de E’ vers E est, lui:

W(E’➛E) = N(E’) [ B(E’➛E) ρ(ν,T) ]

puisqu’il n’y a pas de transition spontanée possible si E'<E. Ces deux équations sont écrites pour le cas E>E’, mais dans le cas inverse, les rôles de E et E’ sont simplement échangés. Einstein n’avait pas besoin de connaître la forme explicite de A et de B pour démontrer que:

  • ρ est le spectre de Planck;
  • hν = E-E’

En effet, comme la matière est en équilibre thermique, il doit y avoir exactement autant de transitions de E vers E’ que de E’ vers E: W(E➛E’) = W(E’➛E)

⇒ n(E) A(E➛E’) = ρ(ν,T) [n(E’)B(E’➛E) exp{(E-E’/kT} – n(E) B(E➛E’)]

Ne connaissant pas la forme explicite de A et B, Einstein argua que l’émission spontanée devenait négligeable devant l’émission induite quand T→∞ parce qu’alors la densité de rayonnement ρ→∞. Dans cette limite, l’exponentielle exp{(E-E’/kT}→1 et Einstein en déduisit que

n(E’)B(E’➛E) = n(E) B(E➛E’)

⇒ ρ(ν,T) = A/B / [exp{(E-E’/kT} – 1]

ce qui est le spectre de Planck si

E – E’ = hν

et si A/B est proportionnel à ν3

Cette dérivation du spectre de Planck exigeait au passage que la transition E➛E’ soit due à l’émission ou l’absorption d’un seul quantum de lumière, de fréquence ν. C’est exactement l’hypothèse de Bohr pour expliquer les raies spectrales, mais ici Einstein l’utilise dans le domaine (à priori complètement différent) de l’émission thermique (continue) du corps noir.

Les physiciens s’efforcèrent au cours des années suivantes de calculer les coefficients A et B en améliorant le modèle de Bohr de différentes façons, sans grand succès. Leur approche revenait en général à considérer une « limite classique » n→∞ dans laquelle l’écart entre les niveaux d’énergie En=E0/n2 tendait vers zéro. L’énergie devenait « presque » continue, presque classique, et il était peut être possible d’appliquer l’électrodynamique classique pour calculer l’intensité du rayonnement émis par un électron accéléré sur une orbite (le calcul de Larmor en 1897). L’espoir était que les résultats obtenus dans ce cas puissent être extrapolés ailleurs dans le spectre. La cohérence de toute l’approche, aussi discutable soit-elle, était parrainée par Bohr sous le nom de « principe de correspondance ». Ce principe assurait que principes quantiques et principes classiques se rejoignaient dans les cas limite.

Le premier calcul correct des coefficients A et B d’Einstein dut attendre Dirac, en 1927, dans le cadre de la nouvelle théorie des quanta.

Laser

Les équations d’Einstein reliant les transitions entre les énergies possibles de la matière au travers des coefficients A et B conduisaient à une autre conséquence, qui ne fut pas immédiatement apparente. L’émission spontanée (E➛E’+hν) était un phénomène simple à comprendre de même que le phénomène inverse de l’absorption d’un photon (E + hν ➛ E’), même si la théorie de Bohr ne pouvait les calculer ni le coefficient A ni le coefficient B. Mais les équations indiquaient aussi la possibilité d’une émission induite (ou stimulée) par la présence d’un bain de rayonnement. On pouvait donc avoir E + hν ➛ E’ + 2 hν et donc une amplification d’un rayonnement.

Émission d'un photon d'énergie hν induite par la simple présence de photons d'énergie hν
Émission d’un photon d’énergie hν induite par la simple présence de photons d’énergie hν

Rien dans les équations n’obligeait d’ailleurs le bain de rayonnement à être un bain thermique, cette hypothèse n’intervenant que pour assurer l’identité des taux des processus d’émission et d’absorption. Mais on pouvait parfaitement appliquer les coefficients A et B à des situations où le rayonnement serait très différent. Cela ouvrait la voie à la possibilité d’amplifier un rayonnement monochromatique, tel que celui émis par des transitions atomiques.

Bien sûr, pour que ce mécanisme d’émission stimulé conduise à une amplification, il faut disposer de plus d’atomes dans l’état d’énergie supérieure que dans l’état d’énergie inférieure (sinon il y aurait plus d’absorptions que d’émissions). Une telle inversion de population n’est pas facile à réaliser car l’état d’énergie supérieure est instable vers l’état d’énergie inférieure, et cela a empêché tout progrès. En 1950 Alfred Kastler (1902-1984) élabora à Paris des méthodes de résonance optique permettant de telles inversions de population (ce qu’on a appelé le « pompage optique ») qui lui valurent le prix Nobel de physique en 1966.

En 1954, Charles Townes parvint à séparer une population de molécules d’ammoniac NH3 en deux composantes. L’ammoniac possède deux états d’énergie E et E’ proches, et il fut possible grâce à un champ électrique de séparer les molécules d’énergie E’ de celles d’énergie E, et d’envoyer ces dernières dans une cavité de micro-ondes ayant juste la fréquence ν = (E-E’)/h. Cela amplifia l’intensité des micro-ondes, réalisant le premier maser (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Basov et Prokhorov menaient des recherches semblables à l’Institut Lebedev de Moscou, et ils partagèrent avec Townes le prix Nobel de physique en 1964. Townes s’efforça ensuite de transposer le mécanisme du maser des micro-ondes à des fréquences plus élevées en remplaçant la cavité micro-onde par une cellule fermée par des miroirs, pour que le rayonnement la traverse à plusieurs reprises et augmente ainsi le nombre de transitions induites. Townes et Schawlow publièrent un article en 1958 exposant le principe d’un « maser infrarouge et optique », ce qui incita de nombreuses équipes à tenter d’un réaliser un modèle opérationnel, un laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation).

Townes et Gordon derrière le premier maser
Townes et Gordon derrière le premier maser

Theodore Maiman réalisa en 1960 le premier laser formé d’un cristal cylindrique de rubis dont les faces opposées étaient argentées. Un flash entourant le cristal excitait les atomes de chrome (qui donnent au rubis sa couleur) et la désexcitation de l’un d’entre eux déclenchait la désexcitation des autres dans une avalanche brutale. Le résultat était un flux de photons tous dans la même direction et la même phase: un faisceau de lumière cohérente.

Schéma du premier laser de Maiman en 1960
Schéma du premier laser de Maiman en 1960
Principe du laser à rubis: l'une des faces n'est pas parfaitement réfléchissante (95%) pour permettre à la lumière de sortir
Principe du laser à rubis: l’une des faces n’est pas parfaitement réfléchissante (95%) pour permettre à la lumière de sortir
Les éléments du premier laser: le rubis et à droite le flash hélicoïdal
Les éléments du premier laser: le rubis et à droite le flash hélicoïdal

Ce premier type de laser ne fonctionnait que par courtes impulsions et son rendement était très faible (il requérait une grande puissance pour exciter le rubis pour une faible puissance du faisceau laser). Des lasers à fonctionnement continu furent assez vite mis au point (laser à colorant par exemple) ainsi que des lasers de grande puissance (lasers à gaz carbonique par exemple) et maintenant des lasers à semi-conducteurs (diodes laser) qui sont les plus répandus, des imprimantes (« laser ») aux lecteurs de CD et de DVD.

Statistiques de Bose-Einstein

En juin 1924, le physicien indien Satyendra Nath Bose écrivit à Einstein pour lui faire part d’une nouvelle dérivation du spectre de Planck, et lui demander son appui pour la publier dans le Zeitschrift für Physik (elle avait été rejetée par le referee du Philosophical Magazine auquel il l’avait envoyée).

Bose ne faisait aucune hypothèse sur la matière en équilibre avec le rayonnement et ne considérait que la statistique d’un gaz de photons en suivant dans ses grandes lignes les méthodes de Boltzmann mais avec plusieurs différences notables. Dans l’approche de Boltzmann, on compte le nombre W de façons de répartir N particules discernables possédant chacune une énergie Ei dans P cellules de l’espace de phase {positions, impulsions}, ce qui détermine l’entropie S=kLogW. La distribution d’équilibre est celle qui maximise l’entropie S sous la contrainte que le nombre de particules et leur énergie totale sont fixés).

Bose découpait l’espace de phase en cellules de volume h3 (parce que des particules de masse nulle et d’énergie E = hν ont une impulsion P = hν/c qui, en 3 dimensions, donne un coefficient h3). Puis il comptait le nombre W de façons de répartir des quanta d’énergie hν dans ces cellules. Bose donnait pour W une expression qu’il déclarait évidente et à partir de laquelle il obtenait l’entropie du gaz de photons et ensuite la distribution d’équilibre, qui était exactement la distribution de Planck. Einstein fut très impressionné par ce résultat, traduisit en allemand l’article de Bose, recommanda sa publication, et suspendit ses travaux sur une théorie unifiée de l’électromagnétisme et de la gravitation pour étudier les conséquences de l’approche de Bose.

En fait Bose s’écartait sur 3 points de l’approche de Boltzmann (il n’est d’ailleurs pas clair qu’il en fût tout à fait conscient):

  1. La seule contrainte lors de la maximisation de S nécessaire pour obtenir la distribution de Planck est la conservation de l’énergie totale, pas celle du nombre de particules: elles ne sont donc pas conservées;
  2. L’expression de W donnée par Bose fait intervenir le nombre de particules dans chaque cellule, mais pas leur identité: elles sont indiscernables;
  3. Dans l’approche de Boltzmann, les particules sont indépendantes les unes des autres, dans l’approche de Bose, ce sont les cellules qui sont indépendantes (et par suite les particules, elles, sont corrélées)

Einstein étendit immédiatement l’approche de Bose à un gaz de particules sans interactions entre elles (ou un gaz d’atomes, ou de molécules) de masse non-nulle. Il imposa bien entendu dans ce cas la conservation du nombre de particules mais il conserva explicitement l’hypothèse (implicite chez Bose) d’indiscernabilité des particules et la corrélation (qu’il jugeait mystérieuse) découlant de l’indépendance des cellules de l’espace des phases.

Cette corrélation fut rapidement attribuée, dans la nouvelle théorie quantique qui se fit jour après 1925) à la symétrisation de la fonction d’onde des N particules, la statistique correspondante fut nommée statistique de Bose-Einstein et les particules (ou les atomes) qui la suivent sont les bosons.

Einstein remarqua en 1925 que la distribution d’équilibre d’un gaz de bosons possédait une température critique, en dessous de laquelle le gaz se séparait en deux phases: une partie, croissant avec la densité, occupait l’état d’énergie minimale, le reste conservant la distribution (de Bose-Einstein) d’un gaz. Cette « condensation de Bose-Einstein » est aujourd’hui expérimentalement réalisée pour plusieurs systèmes physiques. Le premier exemple fut l’hélium 4: en dessous de 2.2 K il devient superfluide, mais ce n’est pas un parfait condensat car les interactions entre atomes d’hélium sont encore importantes. Eric Cornell, Carl Wieman et Wolfgang Ketterle reçurent le prix Nobel de physique en 2001 « pour la découverte de la condensation de Bose-Einstein dans les gaz et pour des avancées dans l’étude des propriétés de ces condensats ». Les températures correspondantes sont extrêmement basses (~100nK).


Contact: lettreani
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