La première théorie quantique

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Le modèle de Bohr

Niels Bohr (1885-1962) sur un billet de banque danois
Niels Bohr (1885-1962) sur un billet de banque danois

Après un mémoire sur la vibration des liquides (qui lui fut très utile 30 ans plus tard quand il construisit une théorie des noyaux sous forme de « goutte liquide »), Niels Bohr avait soutenu en mai 1911 une thèse sur la théorie électronique des métaux, puis obtenu une bourse pour aller à Cambridge travailler au Cavendish avec J.J. Thomson. Mais il fut déçu par ses interactions avec Thomson et, après avoir rencontré Rutherford venu à Cambridge au cours de l’automne parler de ses résultats récents sur le noyau atomique, il préféra le rejoindre à Manchester en mars 1912. Bohr y resta jusqu’en août avant de retourner à Copenhague se marier, puis de revenir à Manchester de 1914 à 1916 comme assistant-professeur. En 1916, Bohr fut nommé professeur à Copenhague (en grande partie pour éviter qu’il ne s’expatrie définitivement). Un Institut de physique théorique fut créé pour lui en 1920, par lequel passèrent, pour des séjours longs ou brefs, la quasi-totalité des physiciens qui réalisèrent la théorie quantique, la physique nucléaire et la physique des particules. Bohr eut toujours une grande vénération pour Rutherford (il baptisa un de ses fils Ernest en hommage).

Inspiré par le modèle de noyau compact portant toute la charge positive proposé par Rutherford, il élabora au cours de son séjour à Manchester un modèle dans lequel les électrons orbitaient autour de ce noyau. Ce modèle était en complète contradiction avec l’électrodynamique maxwellienne, puisque des charges en rotation (donc accélérées) rayonnent, et le calcul indique qu’un électron doit perdre de cette façon toute son énergie en une fraction de seconde et spiraler jusqu’au noyau. l’atome de Rutherford était classiquement instable, mais Bohr postula que (cette conséquence de) l’électrodynamique maxwellienne ne s’appliquait pas à l’intérieur de l’atome.

Bohr n’apprit que plus tard (début 1913) l’existence des règles de Balmer, Rydberg et Ritz et il déclara souvent par la suite que cette information fut le facteur décisif de ses réflexions. Un article majeur Sur la constitution des atomes et des molécules (divisé en trois parties envoyées en avril, juin et août 1913 au Philosophical Magazine) établirent la célébrité mondiale de Bohr, et lui valurent le prix Nobel de physique en 1922.

Planck en 1900, et surtout Einstein en 1905, avaient introduit l’idée qu’à une lumière de fréquence ν donnée correspondant des particules de lumière, les photons (alors appelés quanta de lumière), chacun porteur d’une énergie hν où la constante de Planck h=6.62*10-34 J*s. Admettant que la lumière était émise par les électrons, Bohr en conclut que ceux-ci ne pouvaient, eux aussi, posséder que des énergies précises et que l’énergie de la lumière émise ou absorbée devait correspondre à la différence entre deux énergies possibles des électrons. Les mystérieux « termes spectraux » devaient alors tout simplement correspondre aux énergies des électrons dans chacun des états (quasi)stables permis, les « couches ». À ce moment là, Bohr ne croyait pas vraiment aux quanta de lumière d’Einstein, et il n’utilisa que la quantification des échanges d’énergie entre matière et rayonnement, introduite malgré lui par Planck en 1900.

Le modèle atomique de Bohr
Le modèle atomique de Bohr

Son premier objectif fut alors de reproduire le spectre de l’hydrogène (les raies des séries de Lyman, Balmer et Paschen). Bohr pouvait déduire de la formule de Rydberg ν = ν0 [1/n2 – 1/m2] que l’électron de l’atome d’hydrogène avait toujours des énergies quantifiées de la forme E0/n2 et le modèle de Rutherford devait lui permettre de calculer la quantité E0 = hν0 et la confronter aux observations. Une charge électrique -e de masse M en orbite autour d’une autre charge +e à distance r a une énergie potentielle -e2/r et une énergie cinétique MV2/2=e2/2r pour une orbite circulaire, d’où une énergie totale E=-e2/2r (énergie négative indiquant un état lié).

Restait à comprendre pourquoi le rayon r de l’orbite ne pouvait prendre que des valeurs précises ayant la forme très particulière r = r0n2, ce qui avec E0=e2/2r0 lui donnerait les bonnes énergies. Bohr finit par conclure que cela marcherait si le moment cinétique orbital de l’électron L=M*r*V ne prenait que des valeurs proportionnelles à la constante de Planck (plus exactement la constante de Planck h divisée par 2π, ce qu’on note ħ, et qui se lit h barre). En effet, puisque MV2/2=e2/2r,

  • MrV = nħ ⇒ (MrV)2 = Me2r = (nħ)2
  • ⇒ r = (ħ2/Me2)n2
  • ⇒ r0 = ħ2/Me2 = 0.053 nm ou 0.53 Å (rayon de Bohr de l’hydrogène)

et alors

E0 = e2/2r0= Me4/2ħ2 = 13.6 eV

(qui est bien l’énergie correspondant à la fréquence ν0 de la formule de Rydberg).

Le modèle de Bohr, supposant correcte l’hypothèse de Rutherford sur l’existence d’un noyau quasi ponctuel, permettait de reproduire, sans aucun paramètre libre, le spectre de l’hydrogène. En prime, il permettait de comprendre la taille de cet atome. Mais il exigeait que:

  • l’électron ne suive que certaines orbites (celles pour lesquelles L=nħ)
  • qu’il ne rayonne pas sur ces orbites
  • mais qu’il rayonne en changeant d’orbite un photon (unique!) de fréquence ν=(E1-E2)/h

Bohr n’arriva pas directement au premier postulat sous cette forme. Pour contraindre les rayons des anneaux concentriques occupés par les électrons (un reliquat du modèle Thomson), il imposa d’abord une relation de proportionnalité entre période orbitale T (∝ r3/2, 3° loi de Kepler) et énergie cinétique d’un électron (∝1/r). Bohr indiquait dans une note à Rutherford en 1912 qu’il s’agissait d’une « hypothèse à laquelle nous ne ferons aucun effort de donner une base mécanique ». Ce n’est qu’ensuite, probablement au début 1913 quand il eut connaissance de la formule de Rydberg, qu’il connecta cette hypothèse au spectre de l’hydrogène et introduisit la constante de Planck, puis qu’il arriva finalement à la quantification du moment orbital.

Le deuxième postulat quant à lui contredisait toute l’électrodynamique classique, qui imposait qu’une charge électrique en mouvement accéléré (ce qui est le cas d’un mouvement circulaire) rayonne. Ce rayonnement est d’ailleurs couramment observé (rayonnement synchrotron, rayonnement de freinage ou Bremsstrahlung). Le modèle d’atome de Thomson évitait (peut-être) cette difficulté avec des électrons quasi-immobiles dans la « gelée » positive qui les entourait, mais le modèle de Rutherford avec une charge centrale positive quasi-ponctuelle ne permettait pas cette échappatoire. Bohr dut donc faire l’hypothèse audacieuse que l’électrodynamique classique ne s’appliquait pas dans le cas d’un atome et que les électrons s’y trouvaient dans des états stationnaires (terme qu’il introduisit à cette occasion, car il ne pouvaient s’agir d’états réellement stables puisqu’ils subissaient des transitions). Ces états stationnaires devaient avoir des rayons et des énergies précises.

Les postulats de Bohr en choquèrent plus d’un, mais la prédiction quasi-parfaite du spectre de l’atome d’hydrogène laissait peu de doutes sur l’efficacité de la méthode. Il restait donc à comprendre et justifier ces postulats.

Niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène
Niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène

De plus, le modèle de Bohr prévoyait tout aussi correctement les niveaux d’énergie de l’ion He+, où un électron unique entoure un noyau plus lourd et plus chargé que celui de l’hydrogène. Il prédisait également que l’énergie des électrons dans un atome (et donc l’énergie des photons émis, qu’ils soient dans le domaine visible, ultraviolet ou X) variait comme le carré de la charge électrique du noyau. La formule de Bohr pour l’hydrogène E0 = Me4/2ħ2 devenait E0 = e2/2r0= MZ2e4/2ħ2 pour une charge Ze.

Dans le cas de l’ion hélium, le facteur mesuré était de 4.0016 et non exactement 4, mais Bohr montra aussitôt que l’écart venait de la masse m de l’électron et qu’il fallait donc corriger M en mM/(m+M), donnant un facteur théorique de 4.00163. Le succès spectaculaire du modèle de Bohr pour l’ion d’hélium n’empêcha pas qu’il fut un échec tout aussi spectaculaire pour l’atome d’hélium. Le traitement des deux électrons de ce dernier était manifestement inadéquat. Et malgré tous les efforts (de Sommerfeld, Kramers, Heisenberg en particulier) la question demeura entière jusqu’en 1926 et l’arrivée de la mécanique quantique.

Le modèle de Bohr ne s’appliquait pas très bien nno plus aux atomes plus lourds parce qu’ils ont plusieurs électrons dont l’interaction n’est pas prise en compte. Il donnait cependant des résultats acceptables pour le premier niveau de ces atomes. En première approximation, l’énergie de ces électrons ne varie pas tout à fait en Z2 mais approximativement comme (Z-a)2, avec la constante empirique a~1, ce qui exactement ce que Moseley avait observé. Le modèle de Bohr était ainsi validé provisoirement, de même que le modèle du noyau atomique de Rutherford qui était à sa base. La raie Kα, dans la notation de Barkla (K,L,M,N) modifiée par Mannes Siegbahn (Kα, Kβ…), est l’équivalent pour un noyau plus lourd de la raie Lyman α de l’hydrogène. Elle se trouve dans le domaine des rayons X plutôt que l’ultraviolet comme la raie Lyman α tout simplement parce que l’énergie de l’électron, et donc celle des photons émis, est multipliée par Z2, qui peut vite devenir grand (pour Z~30 on passe des électrons-volts du domaine visible aux kilo-électron-volts du domaine X).

Niveaux d'énergie de l'atome de cuivre
Niveaux d’énergie de l’atome de cuivre

Le modèle de Bohr présentait des défauts manifestes:

  • Il échouait complètement à prédire le spectre de l’hélium.
  • Il prévoyait un moment angulaire L=1 pour le plus bas niveau d’énergie, alors que l’on savait qu’il était égal à zéro.
  • Il ne prévoyait rien pour les effets Zeeman et Stark, ni pour la « structure fine ».
  • Et surtout il ne disait rien de l’intensité relative des différentes raies.

Dans son modèle, par simplicité, Bohr avait supposé que les électrons suivaient des trajectoires circulaires. Le moment angulaire d’un électron en rotation est un vecteur L, de norme |L| et pointant dans la direction perpendiculaire au plan de rotation. La condition de Bohr quantification du moment angulaire (L=nħ) se décomposait en fait en deux parties:

  • une quantification de la norme |L| du moment angulaire lui-même ➛ nombre quantique n
  • une quantification de la projection de ce moment angulaire sur un axe a priori arbitraire ➛ nombre quantique m (variant de -n à +n)

L’énergie de chaque orbite (En=E0/n2) étant déterminée par le nombre quantique n indépendamment de la valeur de m, ce dernier reçut peu d’attention initialement. Mais il perturbait les théoriciens, car ils ne comprenaient pas comment la projection du moment angulaire sur un axe arbitraire pouvait être quantifiée sans remette en question l’invariance par rotation. Cela paraissait impliquer l’existence de directions privilégiées dans l’espace (celles dans lesquelles le moment angulaire était quantifié) et la notion de « quantification de l’espace » fut dans l’air pendant une quinzaine d’années. L’expérience de Stern et Gerlach fut explicitement conçue pour démontrer cette « quantification de l’espace » et son résultat parut confirmer cette idée (on sait aujourd’hui qu’elle démontra en fait l’existence du spin). La mécanique quantique résolut le dilemme en conservant la symétrie de rotation et en montrant que les états quantiques dont la projection du moment angulaire dans une direction donnée est définie sont des superpositions quantiques d’états de projection donnée dans d’autres directions. On ne parle plus de quantification de l’espace mais de quantification du moment angulaire.

L’expérience de Franck et Hertz

James Franck (1882-1964) et Gustav Hertz (1887-1975), le neveu de Heinrich Hertz, réalisèrent en 1914 une expérience qui démontrait l’existence des niveaux d’énergie de l’atome de Bohr même en l’absence de rayonnement. L’expérience utilisait une triode remplie de vapeur de mercure à une pression ~0.1 Pa (10–6 atmosphères). Des électrons émis par une cathode, accélérés par une grille, entraient en collision avec les atomes du gaz et perdaient alors de l’énergie. Les électrons ralentis traversaient la grille, qui les freinait encore. Une anode collectrice à un potentiel un peu plus bas (0.5 V) que la grille récupérait les électrons. Une perte d’énergie importante des électrons au cours des collisions les rendaient incapables d’atteindre l’anode (ils rejoignaient alors la grille), ce qui se traduisait par une chute du courant dans la seconde partie du tube.

Schéma de l'expérience de Franck et Hertz
Schéma de l’expérience de Franck et Hertz

Le but de l’expérience était de démontrer que lorsque la tension appliquée à la grille atteint certaines valeurs précises, l’énergie de l’électron devient juste suffisante pour induire des transitions dans les atomes de mercure. La collision devient inélastique, l’électron incident cède son énergie à l’atome, et il n’a plus l’énergie suffisante pour atteindre l’anode. Le courant chute alors brutalement. Puis il remonte quand la tension de la grille augmente, jusqu’à atteindre l’énergie suffisante pour exciter deux atomes de mercure. Le courant retombe alors puis remonte jusqu’à 14.7 V, et retombe à nouveau.

Résultat de l'expérience de Franck et Hertz (Franck, conférence Nobel 1925)
Résultat de l’expérience de Franck et Hertz (Franck, conférence Nobel 1925)

Chaque fois qu’un électron atteint une énergie de 4.9 eV (voltage de 4.9 V), il excite un atome de mercure. Quand il atteint 2*4.9=9.8 eV, il en excite deux, quand il atteint 3*4.9=14.7 eV, il en excite trois, et ainsi de suite (jusqu’à une tension voisine de 100 V). La valeur de 4.9 eV observée dans le cas du mercure correspond (via E=hν=hc/λ) à une longueur d’onde de 254 nm, qui correspond bien à une raie intense dans le spectre d’émission du mercure (dans l’ultraviolet).

James Franck
James Franck

Franck et Hertz reçurent en récompense le prix Nobel de physique en 1925, puis leurs destinées furent bien différentes. James Frank fut professeur à Göttingen et directeur de l’Institut de Physique Expérimentale, position parallèle à celle qu’avait alors Max Born du côté de la théorie. D’origine juive, Franck dut quitter son poste, et l’Allemagne, en 1933 pour les États-Unis. Professeur à Baltimore puis, après une année à Copenhague, à Chicago, il y devint un des éléments clés du programme Manhattan, en charge de superviser la chimie de l’uranium et du plutonium. Profondément intéressé par les aspects politiques et éthiques des armes nucléaires, il fut le coordinateur du rapport Frank en juin 1945 déconseillant l’emploi de ces armes contre les villes du Japon.

Gustav Hertz
Gustav Hertz

Gustav Hertz, dont l’un des grand-pères était juif, perdit lui aussi son poste universitaire à Berlin. Il devint directeur de la recherche de la société Siemens jusqu’en 1945. En 1945, avec plus d’une centaine d’autres physiciens allemands (dont Manfred von Ardenne, Peter Thiessen et Heinz Barwich), il dut rejoindre volens nolens l’Union Soviétique, où il dirigea les recherches sur la séparation isotopique par diffusion gazeuse (domaine sur lequel il travaillait depuis 1928) près de Soukhoumi en Géorgie sur la Mer Noire. Il reçut un Prix Staline en 1951, puis il put rejoindre Leipzig en 1955 mais il dut rester en RDA jusqu’à sa mort.

Timbre de l'Allemagne de l'Est à l'effigie de Gustav Hertz, rendant hommage à ses travaux sur la séparation isotopique de l'uranium
Timbre de l’Allemagne de l’Est à l’effigie de Gustav Hertz, rendant hommage à ses travaux sur la séparation isotopique de l’uranium

Le modèle de Bohr-Sommerfeld

Dans ses articles de 1913, Bohr n’avait supposé que des orbites circulaires et Peter Debye suggéra immédiatement la possibilité d’orbites elliptiques. Cela paraissait logique: le mouvement fermé d’une masse soumise à une force en 1/r2 est en général une ellipse, dont le cercle est un cas très particulier. Le calcul n’était pas beaucoup plus complexe que celui de Bohr, il fallait juste tenir compte de la variation périodique de la distance radiale r.

Cela introduisait un nouveau nombre quantique k (≥0) et l’énergie d’un électron sur une orbite de nombres quantiques {n,k} devenait

En=E0/(n+k)2

On retrouvait donc la formule de Bohr, mais avec n+k au lieu de n. Pour éviter toute confusion, il est préférable d’effectuer les substitutions n➛l puis l+k➛n. Alors:

  • En=E0/n2
  • l ≤ n (puisque k ≥ 0) et -l < m < l
Ellipses de Sommerfeld pour n=5 (et l=0, 1, 2, 3 et 4). 3° loi de Kepler ➛ même période orbitale pour même ½ grand axe (quelle que soit l’ellipticité)
Ellipses de Sommerfeld pour n=5 (et l=0, 1, 2, 3 et 4). 3° loi de Kepler ➛ même période orbitale pour même ½ grand axe (quelle que soit l’ellipticité)
  • ½ grand axe a(n,l) = R0n2 ne dépend pas de l ☛ « dégénérescence »
  • ½ petit axe b(n,l) = R0nl
  • énergie E(n,l) = E0/n2 en 1° approximation

Sommerfeld tint ensuite compte des corrections relativistes. Elles seraient faibles, car la vitesse v de l’électron dans un atome était estimée très inférieure à la vitesse c de la lumière (en utilisant v/c ~ √[2E/mc2] ➛v/c < 0.01), mais le but de Sommerfeld était de rendre compte de la structure fine du spectre de l’hydrogène.

Sommerfeld et la « structure fine »

La formule de Balmer-Rydberg, utilisée par Bohr dans la construction de son modèle en 1913, n’était pas tout à fait correcte car elle négligeait le fait que chacune des raies apparaissaient sous une meilleure résolution comme une série de raies étroites très proches: la « structure fine ». Michelson fut le premier à en signaler la présence en 1892, ce que des expériences ultérieures confirmèrent.

La structure fine de la raie Hα de l'hydrogène
La structure fine de la raie Hα de l’hydrogène

Bohr avait suggéré en 1914 que les corrections relativistes à la masse de l’électron (plus exactement à la relation entre masse, vitesse, énergie et impulsion) pourraient expliquer la structure fine, mais sans mener le calcul à son terme. Au cours de l’hiver 1914-1915, Arnold Sommerfeld se lança dans le calcul des corrections relativistes pour aboutir en janvier 1916 à une formule un peu plus complexe que celle de Rydberg:

Enk = E0 [Z2/n2 + α2 Z4/n3 (1/k – 3/4n) ] + O(α4)

Le premier terme de la formule généralisée redonnait le résultat de Bohr (et donc la formule de Rydberg) et le second était numériquement une petite correction. Dans son calcul, Sommerfeld avait introduit une notation α=2πe2/hc qui resta ensuite sous le nom de « constante de structure fine » et qui est nombre pur, sans dimension, et dont la valeur (~1/137) est petite devant 1. Les termes en α2 sont donc négligeables en première approximation, et ceux en α4 plus encore.

En première approximation, l’énergie de l’électron ne dépendait pas séparément des nombres quantiques k et l mais seulement de leur somme n=k+l. Les effets relativistes « levaient la dégénérescence » et différenciaient l’énergie de l’électron selon l’ellipticité et l’orientation de son orbite, d’où la structure fine.

Mais l’amélioration de la spectroscopie, par Paschen en particulier, montra que l’on n’observait pas toutes les transitions a priori possibles d’un niveau (n,k) vers un niveau (n’,k’). Il existait manifestement des règles de sélection. Certaines raies n’apparaissaient qu’en présence d’un champ magnétique ou électrique (effets Zeeman et Stark), d’autres n’apparaissaient pas du tout. Apparemment, il fallait que k’=k±1. Mais pas toujours. Une issue à ces difficultés fut proposée en août 1925 par George Uhlenbeck et Samuel Goudsmit à Leyde: remplacer k par j+½ et limiter les transitions à celles où j’=j ou bien j’=j±1. Uhlenbeck et Goudsmit ne justifiaient pas leur règle, mais elle les conduisit en octobre 1925 à proposer la notion de spin de l’électron. La quantité j représente alors le moment angulaire total d’un électron (spin + moment orbital) et leur règle de sélection est due au fait que le spin du photon est 1.

Incidemment, l’imprécision des mesures a longtemps laissé penser que la constante de structure fine α pourrait être (l’inverse d’) un nombre entier, 1/136, puis 1/137, ce qui suscita une effervescence de « dérivations » numérologiques, en particulier par le grand astrophysicien Arthur Stanley Eddington. Ces spéculations furent parodiées en 1931 par Hans Bethe, avec la complicité de Guido Beck et Wolfgang Riezler dans un article qui fut publié, sans sourciller, par la très sérieuse revue Naturwissenschaften: les auteurs considéraient un cristal à la température du zéro absolu (T0=-273°C), attribuaient un nombre de degrés de liberté égal à 1/α aux électrons comme aux protons (suivant en cela la proposition d’Eddington) et en déduisaient que pour arriver au zéro absolu il fallait retirer tous les degrés de liberté (sauf un « en raison du mouvement orbital »), d’où T0=-(2/α–1)=-273 ⇔ α=1/137! La dérivation de Bethe et ses complices est bien sûr totalement loufoque et digne d’Alan Sokal. Naturwissenschaften publia un « erratum » en 1932 pour s’excuser. La valeur actuelle de la constante de structure fine est α=1/137.036…

Arnold Sommerfeld (1868-1951)
Arnold Sommerfeld (1868-1951)

Sommerfeld est une figure étonnante de la physique. Aucun physicien ne fut aussi souvent proposé pour le prix Nobel (81 fois), mais il ne le reçut jamais. Par contre, la liste de ses élèves est un florilège de la physique de la première moitié du 20° siècle, sept d’entre eux recevant un prix Nobel: Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Peter Debye, Hans Bethe, Max von Laue, Isidore Isaac Rabi et Linus Pauling. Parmi ses élèves figuraient aussi Paul Peter Ewald, Herbert Fröhlich, Ludwig Hopf, Alfred Landé, Rudolf Peierls, Gregor Wentzel, Walter Heitler et bien d’autres.

Né à Königsberg, Sommerfeld y fit ses études (ayant entre autres professeurs Hilbert et Wiechert) avant d’aller à Göttingen où il fut l’assistant du mathématicien Felix Klein. Il devint assistant-professeur de mathématiques (Privatdozent) à Göttingen en 1895, professeur de mécanique à Aix-la-Chapelle en 1900 où il développa l’hydrodynamique, puis en 1906 professeur à Munich et directeur du nouvel Institut de Physique Théorique. En 1911, Sommerfeld nota que la constante de Planck h avait pour dimension énergie*temps, la même que l’action (celle que l’on minimise dans le principe de moindre action qui est à la base de la mécanique lagrangienne ou hamiltonienne) et il avait cherché à relier le « quantum d’action » h à la quantification de l’action d’un système physique.

Après la publication du modèle de Bohr, il le généralisa en imposant en 1916 la quantification pour chaque degré de liberté q sous la forme ∲pdq=nħ (p étant le moment conjugué à q). En 1918, il devint président de la Société allemande de physique, et il lança en 1920 une nouvelle revue, le Zeitschrift für Physik, qui devint immédiatement une des revues majeures du domaine au niveau mondial. Sommerfeld prit sa retraite en 1935, mais resta en poste jusqu’à la guerre, faute de successeur. Ses traités de 1919 Atombau und Spektrallienien et de 1929 Wellenmechanische Ergänzungsband furent successivement les « bibles » de la physique atomique pour deux générations de physiciens.

Dans le modèle de Bohr-Sommerfeld, la position d’un électron en 3 dimensions conduisait automatiquement à trois nombres quantiques (n, l et m) en généralisant la règle de quantification de Bohr qui s’appliquait au mouvement à une dimension de l’électron autour d’une orbite circulaire fixée. n = 1, 2, 3…

  • l = 0, 1,… n-1
  • m = -l, -l+1… l-1, l

Ces règles viennent de ce que la position d’un électron est donnée en coordonnées sphérique par trois variables (r, θ, φ), que la quantification porte sur les moments conjugués (variable q ➛ moment conjugué p=∂L/∂q où L est le lagrangien) sous la forme ∲pdq=nħ ☞ 3 nombres quantiques nr, nθ et nφ que l’on regroupe sous la forme

  • n = nr + nθ + nφ
  • l = nθ + nsφ– 1
  • m = nφ

Mais l’énergie d’une orbite ne dépendait en première approximation que du nombre quantique n, en deuxième approximation des nombres n et l, et en troisième approximation des trois nombres séparément (levées de dégénérescence, en présence de champs électriques ou magnétiques externes par exemple, ou de corrections relativistes). Un quatrième nombre quantique, le spin avec deux valeurs possibles, fut ensuite ajouté pour déterminer complètement l’état d’un électron.

L’expérience de Stern et Gerlach

Le modèle de Bohr-Sommerfeld supposait que les orbites des électrons étaient quantifiées: les rayons ne pouvaient avoir que certaines valeurs, de même que l’orientation des plans orbitaux. Ceci est une conséquence de la quantification du moment angulaire. Pour le démontrer, une expérience fut imaginée en 1921 par Otto Stern, professeur à Rostock et ancien assistant de Max Born, (Ein Weg zur experimentellen Pruefung der Richtungsquantelung im Magnetfeld « Une méthode pour démontrer expérimentalement la quantification de la direction avec un champ magnétique »). Il la réalisa l’année suivante avec Walther Gerlach, professeur de physique expérimentale à Francfort/Main (Das magnetische Moment des Silberatoms).

L’idée de départ de Stern était qu’un atome, parce qu’il possédait des charges électriques (les électrons) en rotation devait se comporter comme un aimant miniature dont les pôles seraient déterminés par le plan de rotation (et le sens de rotation) des électrons. Si dans la théorie classique de Larmor, les pôles n’avaient pas de direction privilégiée, ils en avaient dans celle de Sommerfeld.

Champ magnétique créé par une boucle de courant
Champ magnétique créé par une boucle de courant

Des aimants (un dipôle magnétique) placé dans un champ magnétique homogène subit un couple qui l’aligne sur le champ, mais cela ne déplace pas son centre de gravité. Stern suggéra de placer ces atomes dans un champ magnétique non homogène (avec un gradient selon une direction, verticale par exemple). Dans ce cas un aimant non seulement tourne sur lui-même mais il se déplace également dans la direction du gradient (ou la direction opposée selon son orientation). Si les atomes se déplacent perpendiculairement au champ (parce qu’ils appartiennent à un jet atomique par exemple), ils vont arriver sur un écran à une position plus ou moins haute, selon l’orientation initiale de leur moment magnétique. La théorie classique prédit donc qu’ils vont arriver le long d’une ligne verticale d’impacts, la théorie quantique qu’ils vont arriver à des positions discrètes (mais alignées sur la verticale).

Les atomes sont a priori dans leur état de plus basse énergie (nombre quantique n=1) et dans la théorie de Bohr-Sommerfeld, le moment angulaire ne peut avoir que deux valeurs m=±1. Un jet d’atomes devrait donc donner deux impacts distincts, selon que le moment angulaire (et donc le moment magnétique) est parallèle (m=+1) ou antiparallèle (m=–1) avec le champ magnétique.

Expérience de Stern et Gerlach (Wikipedia)
Expérience de Stern et Gerlach (Wikipedia)

Stern calcula que, pour que les impacts soient bien séparés, il faudrait un gradient de champ magnétique de 1 tesla par cm et il demanda à Gerlach si cela était réalisable. Gerlach répondit que cela ne posait aucun problème. Ils utilisèrent un jet d’atomes d’argents, vaporisés dans un four à 1000°C, sortant par deux étroites ouvertures de 0.03 mm (formant un collimateur) à une vitesse ~700 m/s et traversant un aimant de 3.5 cm de long qui créait un champ de 0.1 T avec un gradient de 10 T/cm. L’expérience étrait très délicate: le collimateur et l’aimant devaient être alignés avec une précision extrême, le dépôt d’argent était très faible et donc difficile à mettre en évidence. Stern attribua par la suite la réussite de l’expérience aux mauvais cigares qu’ils fumaient: chargée en soufre, leur fumée noircissait l’argent et facilitait involontairement l’observation. De plus, la situation financière de l’Allemagne était alors critique, et seules des conférences (payantes) de Max Born, puis une aide importante de Henry Goldman (le fils du fondateur de Goldman-Sachs), permit de financer l’expérience. Stern et Gerlach faillirent abandonner à plusieurs reprises mais finalement, en février 1922, ils observèrent deux impacts distincts, séparés de 0.2 mm.

Walther Gerlach
Walther Gerlach (1889-1979)

L’expérience fut donc considérée comme un succès, confirmant les idées de Sommerfeld sur la quantification du moment angulaire, et apportant une grande renommée à ses auteurs. Walther Gerlach devint ensuite professeur à Tübingen puis il succéda à Wien comme professeur à Munich de 1929 à 1945, puis de 1948 à 1957. La dernière année de la Seconde guerre mondiale, Gerlach fut nommé directeur du programme nucléaire allemand, et à ce titre fut interné plusieurs mois en Grande-Bretagne avec neuf autres physiciens allemands. De son côté, Otto Stern (1888-1969) devint professeur à Hambourg en 1923, poste qu’il quitta en 1933 à l’arrivée des nazis. Il partit aux États-Unis, d’abord à l’Institut Carnegie, puis à l’université de Berkeley. Il reçut le prix Nobel de physique en 1943 pour ses nombreuses contributions en particulier les techniques de jets atomiques ou moléculaires, dont il était devenu le grand spécialiste, et la découverte du moment magnétique du proton et du neutron en 1933 (dont la valeur anormale suggérait que proton et neutrons n’étaient pas des particules élémentaires). Mais son expérience avec Gerlach n’était pas mentionnée par le comité Nobel, du fait des activités de Gerlach à cette époque.

En fait, l’expérience était correcte, mais son interprétation se révéla complètement erronée. Les atomes d’argent utilisés par Stern et Gerlach ont en réalité un moment angulaire l=0 et ils auraient donc dû arriver tous sur un seul point d’impact. Et s’ils avaient eu un moment angulaire l=1, la mécanique quantique (après les travaux de Heisenberg, Schrödinger et consorts) indiqua qu’il y aurait eu trois points d’impact (m=-1, m=0 et m=+1) et non deux! La bonne explication vint après qu’Uhlenbeck et Goudsmit eurent proposé en 1925 que les électrons possèdent un moment angulaire intrinsèque, le spin, indépendamment de leur moment angulaire orbital. L’idée de spin avait des motivations toutes différentes, mais Fraser démontra en 1927 qu’un spin ½ pour l’électron conduit bien à la prédiction de deux points d’impact (l’un pour l’orientation +½, l’autre pour l’orientation –½) dans l’expérience de Stern et Gerlach.

D’un autre côté, la technique utilisée par Stern et Gerlach pour séparer des états quantiques distincts fut réutilisée dans nombre de situations allant de la résonance magnétique nucléaire (RMN) au pompage optique (à la base des masers et lasers) et aux horloges atomiques. Le « Stern et Gerlach » est devenu un instrument courant des laboratoires de physique atomique.


Contact: lettreani
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