Loi de Planck

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Max Planck

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Max Planck

Planck s’intéressait avant tout à la thermodynamique, et surtout au second principe (dont il avait fait son sujet de thèse). Son but était de comprendre l’origine de l’irréversibilité (exprimée par l’augmentation inévitable de l’entropie d’un système isolé). Contrairement à Boltzmann, Planck ne considérait pas le second principe comme un effet statistique, seulement vrai en moyenne, mais comme une loi fondamentale de l’univers. Planck s’opposait également à Boltzmann en défendant l’idée d’une matière continue et en refusant l’idée d’atomes. Mais il évolua progressivement sur ce point au cours des années 1890 admettant que le concept d’atome permettait de rendre compte simplement de très nombreuses propriétés physiques et chimiques de la matière (sans pour autant leur accorder une existence physique), et il finit par admettre leur réalité vers 1910.

Planck rechercha l’origine de l’irréversibilité dans l’électrodynamique de Maxwell, qu’il pensait plus fondamentale, et il se donna en 1895 comme programme de travail l’étude de l’interaction d’un oscillateur microscopique (un fragment de matière de masse et de charge électrique données, mais pas nécessairement un atome ou une molécule!) avec un champ électromagnétique. Ce n’était pas particulièrement original, Maxwell lui-même s’était posé la question trente ans plus tôt, et bien d’autres dans l’intervalle.

Planck crut d’abord avoir détecté une « flèche du temps » dans les processus électromagnétiques, mais Boltzmann lui démontra en 1897 que les équations de Maxwell étaient invariantes par renversement du sens du temps, et que l’origine de l’irréversibilité devait se situer dans la matière plus que dans le rayonnement. C’est en abordant le cas de l’émission de rayonnement par un corps noir que Planck démontra en 1899 la formule de Wien, au prix d’une hypothèse hasardeuse sur l’entropie des oscillateurs.

Les équations de Maxwell indiquaient qu’une charge électrique accélérée (oscillante par exemple) rayonnait une onde électromagnétique, et perdait de ce fait de l’énergie. Inversement une onde électromagnétique exerçait une force sur une charge électrique et modifiait ainsi son mouvement. D’où l’idée de traiter la matière comme un ensemble d’oscillateurs (harmoniques) couplés entre eux par l’intermédiaire du champ électromagnétique. Cela ne suppose pas, a priori, que la matière soit formée d’atomes ou de molécules, mais seulement qu’on peut la découper par la pensée en un ensemble de pièces de masses et de charges données. Le champ électromagnétique lui aussi peut être représenté comme une superposition d’oscillateurs, chacun à une fréquence donnée, et ces oscillateurs se couplent par l’intermédiaire de la matière (le champ électromagnétique n’interagit pas avec lui-même selon Maxwell).

Onde électromagnétique engendrée par une charge accélérée
Onde électromagnétique engendrée par une charge oscillante (accélérée dans une direction puis en sens inverse)

Comme il existait manifestement un lien entre la température du corps et l’émission du rayonnement, la thermodynamique s’introduisait via le 1° principe, la conservation de l’énergie totale de l’ensemble matière et rayonnement, et le 2° principe, l’augmentation (ou au moins la constance) de l’entropie de l’ensemble. Planck considéra une collection de dipôles oscillants interagissant avec une superposition d’ondes électromagnétiques de fréquences diverses.

Son modèle d’interaction matière-rayonnement était le suivant:

Un ensemble de N oscillateurs de masse et de charge données sont soumis à une force de rappel proportionnelle à leur déplacement (➛ fréquence propre ω). Cela modélisait leur mouvement propre dans la matière, où les charges de signe opposé s’attirent mutuellement et ne peuvent donc pas beaucoup s’éloigner de leur position d’équilibre (dipôles).

Les N oscillateurs sont couplés à un champ électromagnétique de fréquence ν qui exerce une force sur eux (d’où mouvement forcé) et vers lequel ils perdent de l’énergie par émission de rayonnement (d’où mouvement amorti). La solution des équations du mouvement des oscillateurs conduit à une énergie E proportionnelle à 1/[(ω–ν)22] où γ est l’amortissement. Cela montre d’ailleurs que l’on a résonance à la fréquence ω=ν.

L'interaction entre des oscillateurs et une onde électromagnétique, selon Planck
L’interaction entre des oscillateurs et une onde électromagnétique, selon Planck

Planck supposa ensuite que, en équilibre thermodynamique, le champ électromagnétique était une superposition incohérente d’ondes de toutes les fréquences ν avec un poids ρ(ν,T) dépendant de la température, poids qui était précisément celui qu’il voulait justifier, et il en déduisit que la distribution d’énergie des oscillateurs était reliée à celle du rayonnement par

U(ν,T)=ρ(ν,T) c3/8πν2

Restait à déterminer U, et Planck posa (sans justification d’aucune sorte) que l’entropie S était donnée par

S = (U/a ν) Log (U/b ν) où a et b sont des constantes

Cette définition quelque peu ad hoc de l’entropie de ces dipôles était le maillon faible de son raisonnement. Mais elle lui permettait (via dU=TdS) de calculer U

U = b ν exp{a ν/T}

qui donne pour ρ(ν,T) la forme de Wien

Le spectre de Planck

Paschen étendit en 1897 les mesures de photométrie au proche infrarouge (longueurs d’onde λ de 1 à 8 µm) avec des sources dont la température pouvait varier de 400 à 1600 K, et la forme de Wien rendait encore très bien compte de ses mesures.

Mais en 1900, des déviations apparurent. À Berlin, Otto Lummer (1860-1925) et Pringsheim observèrent un écart par rapport aux prédictions de Wien dans l’infrarouge moyen (longueurs d’onde λ de 12 à 18 µm), et peu après Rubens et Kurlbaum, également à Berlin, en observèrent de plus marquées dans l’infrarouge lointain (longueurs d’onde λ de 30 à 60 µm).

Manifestement la loi de Wien était excellente à haute fréquence mais elle sous-estimait l’émission à basse fréquence. Pour des températures dans l’intervalle 300 à 1800 K, employées dans ces mesures, les hautes fréquences correspondaient au domaine ultraviolet et optique et les basses fréquences au domaine infrarouge.

Spectre du corps noir donné par Wien, Rayleigh et Planck
Comparaison entre les lois proposées par Wien (courbe bleue), Planck (courbe verte) et Rayleigh (courbe rouge) pour le spectre du corps noir

À la mort de Kirchhoff, Planck lui avait succédé à la chaire de physique théorique de l’université de Berlin, et il était de ce fait très bien placé pour être au courant des résultats expérimentaux de Lummer et Pringsheim d’une part et de Rubens et Kurlbaum d’autre part au printemps et à l’été 1900. Il sut ainsi très vite que les observations déviaient de la loi de Wien à basse fréquence.

Le 7 octobre 1900, Rubens l’informa que ses résultats indiquaient que l’énergie émise augmentait proportionnellement à la température, pour une fréquence ν fixée (et basse). Dans leur expérience, Rubens et Kurlbaum sélectionnaient en effet d’abord une fréquence (via des réflexions multiples jouant le rôle de filtre de fréquences), variaient ensuite la température et mesuraient l’énergie émise.

Planck trouva en quelques heures une fonction capable d’interpoler entre la forme proposée par Wien et le résultat annoncé par Rubens:

  • Rubens: ρ(ν,T) ∝ T f(ν) pour ν petit
  • Wien: ρ(ν,T) ∝ ν3 exp{– β ν/T} pour ν grand
  • Planck : ρ(ν,T) ∝ ν3 / [exp{β ν/T} – 1]

Pour ν grand, l’exponentielle au dénominateur est en effet beaucoup plus grande que 1, qui est négligeable, et on retrouve la forme de Wien. Pour ν petit, l’argument de l’exponentielle est petit et en utilisant le développement limité ex~1+x, le 1 se compense avec le -1 au dénominateur et la formule de Planck devient ρ(ν,T) ~ ν2 T et l’on retrouve la forme proposée quelques mois plus tôt par Rayleigh. Planck rendit publique son interpolation le 19 octobre 1900.

Spectre d'un corps noir à T=1000 K (©F. Besnard)
Spectre d’un corps noir à T=1000 K (©F. Besnard)

Rayleigh & Jeans

William Strutt, élevé à la pairie avec le titre de Lord Rayleigh, avait proposé dès le mois de juin 1900 (donc un peu avant Planck) une forme différente pour le spectre du corps noir qui:

  • reproduisait à peu près les résultats expérimentaux à basse fréquence;
  • utilisait la thermodynamique d’un ensemble d’oscillateurs
  • et employait le théorème d’équipartition de l’énergie qui implique que l’énergie moyenne U d’un oscillateur soit proportionnelle à la température: U = kT pour un oscillateur harmonique.
William Strutt, 3° baron Rayleigh (1842-1919)
William Strutt, 3° baron Rayleigh (1842-1919)

Strutt avait été étudiant de Stokes à Cambridge, puis il avait succédé à Maxwell à la direction du laboratoire Cavendish de 1879 à 1884.Il s’est beaucoup intéressé à l’acoustique, au rayonnement, et sa découverte des gaz nobles lui valut le prix Nobel de physique en 1904.

La forme proposée par lord Rayleigh était ρ(ν,T) ∝ ν2 T. Notons que c’est un cas particulier de la forme proposée par Wien en 1894 ρ(ν,T) = ν3 f(ν/T) et qu’elle redonne donc la loi de Stefan-Boltzmann et la loi de déplacement de Wien. Mais elle ne rend pas compte des mesures à haute fréquence et, pire, prévoit une émission infinie d’énergie par un corps chauffé puisque l’intégrale sur toutes les fréquences diverge du côté des hautes fréquences (ce que Ehrenfest baptisa en 1911 la « catastrophe ultraviolette »).

Loi de Rayleigh-Jeans (©C.R. Nave, 2006)
Loi de Rayleigh-Jeans (©C.R. Nave, 2006)

Bien qu’elle résultât d’un calcul impeccable de thermodynamique du rayonnement, la forme de Rayleigh ne rendait manifestement pas compte des observations, sauf à basse fréquence. Rayleigh la compléta donc par un facteur exponentiel purement ad hoc, calqué sur la proposition de Wien pour les hautes fréquences:

ρ(ν,T) = 8πk/c3 ν2 T exp{– β ν/T}

où k est la constante de Boltzmann et c la vitesse de la lumière.

Bizarrement, Rayleigh ne calcula pas avant 1905 le coefficient de proportionnalité 8πk/c3, et encore il oublia alors le 8, ce que Jeans corrigea immédiatement. Quant à l’origine de cette exponentielle, elle pouvait être cherchée soit dans un écart à l’équilibre thermique (la position défendue par Jeans) soit dans un écart à l’équipartition de l’énergie pour un rayonnement de haute fréquence (la position défendue par Rayleigh). Einstein montra en 1905 qu’elle était en fait due à la nature granulaire, ou corpusculaire, de la lumière.

La forme proposée par Rayleigh ne rendait cependant pas parfaitement compte des observations pour les fréquences intermédiaires, alors que celle proposée peu après par Planck en rendait admirablement compte à toutes les fréquences. Elle fut donc très vite adoptée par les physiciens comme une très bonne description empirique.

Apparition des quanta

Planck n’était cependant pas satisfait d’avoir trouvé, en partie par intuition, la bonne forme expérimentale du spectre, il voulait en comprendre l’origine théorique. Il reprit donc le calcul qu’il avait mené l’année précédente pour démontrer la formule de Wien. Son idée fut donc de partir de la « bonne » formule pour le spectre, de remonter à la définition correspondante de l’entropie et, espérait-il, en comprendre ainsi l’origine. Repartant de la relation entre les distributions d’énergie des oscillateurs et du rayonnement U(ν,T) = ρ(ν,T) c3/8πν2, il lui fallait à déterminer l’énergie moyenne U des N oscillateurs en équilibre thermodynamique, et pour cela Planck avait deux possibilités:

  1. utiliser le théorème d’équipartition de l’énergie U = kT, mais cela ne conduisait pas au bon résultat;
  2. ou calculer U à partir de l’entropie S (via la relation dU=TdS), ce qui lui imposait de connaître l’entropie de son ensemble d’oscillateurs.
L'équation de Boltzmann, telle qu'elle est gravée sur sa pierre tombale à Vienne
L’équation de Boltzmann, telle qu’elle est gravée sur sa pierre tombale à Vienne (W est le nombre de micro-états)

Planck dut alors se résoudre à utiliser la relation de Boltzmann S = k Log W, où W est le nombre de micro-états d’énergie U, donc à admettre la valeur de la thermodynamique statistique. Ces micro-états correspondent aux différentes façons de répartir une énergie totale N*E (et une entropie N*S) entre N oscillateurs.

Pour calculer W, Planck découpa l’énergie totale en P paquets, chacun d’énergie ε (donc ε = N*E/P). Il existait donc W = (N+P)!/N!P! façons de répartir ces P paquets entre N oscillateurs (où n!=1*2*3…*n et se lit « factorielle n »). Avec un peu d’algèbre, ceci conduit pour l’énergie E à l’expression

E = ν/ [exp{ε/kT} – 1]

et donc au spectre électromagnétique

ρ(ν,T) = ν3 / [exp{ε/kT} – 1]

Planck n’avait plus qu’à comparer cette formule à son interpolation

ρ(ν,T) = ν3 / [exp{β ν/T} – 1]

pour en déduire que l’énergie ε de chacun de ses P paquets devait être proportionnelle à la fréquence ν. Autrement dit

ε = hν

où la constante de proportionnalité h est aujourd’hui nommée la constante de Planck.

Planck publia sa dérivation le 14 décembre 1900, mais celle-ci posait autant de problèmes qu’elle en résolvait. La discrétisation de la matière en N oscillateurs résonants et de l’énergie en P paquets était une étape nécessaire, et d’ailleurs alors banale, pour faire le calcul du nombre W de micro-états, mais la procédure de Planck était étrange à plusieurs égards:

  • Sans la moindre justification (si ce n’est son rejet ancien de la thermodynamique statistique de Boltzmann) Planck n’avait pas utilisé le théorème d’équipartition de l’énergie, qui l’eût amené à écrire E(ν,T) = kT conduisant immédiatement à la formule de Rayleigh, via son équation d’équilibre thermique E(ν,T) = ρ(ν,T) c3/8πν2.
  • La formule employée pour W = (N+P)!/N!P! correspond au nombre de façons de répartir P objets indiscernables parmi N, or les paquets d’énergie sont discernables en thermodynamique classique.
  • Mais surtout, le résultat final n’aurait pas dû dépendre de la discrétisation, alors que Planck s’était retrouvé contraint non seulement à conserver ε jusqu’au bout, mais encore de le poser proportionnel à la fréquence.

Planck considéra cette étrange discrétisation comme un artefact de la méthode de calcul, sans y voir une information réelle sur les échanges d’énergie entre matière et rayonnement. Il ne dit nulle part dans son article que l’énergie reçue ou perdue par un oscillateur est un nombre entier de fois ε, ce qui aurait accordé une réalité physique à cet ε. Il ne publia d’ailleurs rien d’autre sur la théorie du corps noir entre 1901 et 1906.

L’idée de quantum d’énergie ne se fit jour que très progressivement, et elle est essentiellement due à Einstein qui réalisa d’abord que ce ε = hν régulait bien les échanges d’énergie entre matière et rayonnement, puis ensuite (dans ses travaux sur l’effet photoélectrique) que cela impliquait que l’énergie électromagnétique elle même était quantifiée et (pas seulement lors d’un échange d’énergie). C’est alors qu’il introduisit la notion de « quantum de lumière ».

Planck se refusa à l’admettre, avant de s’y rallier progressivement entre 1908 et 1911, sous l’influence de Lorentz.

Quelle qu’en soit la justification théorique, le spectre du corps noir proposé par Planck correspondait si bien aux mesures expérimentales qu’il fut adopté presque immédiatement par tous les physiciens du domaine.

ρ(ν,T) = 8πh/c3 ν3 / [exp{hν/kT} – 1]

Le domaine des basses fréquences est couramment appelé domaine (ou secteur) de Rayleigh-Jeans et celui des hautes fréquences domaine de Wien.

Le spectre du corps noir, en échelles logarithmiques, à différentes températures.
Le spectre du corps noir, en échelles logarithmiques, à différentes températures.

Les spectres ne se croisent pas, la fréquence du maximum augmente linéairement avec la température (loi de déplacement de Wien), et l’aire sous la courbe (l’énergie totale du rayonnement) augmente comme la puissance quatrième de la température (loi de Stefan-Boltzmann). À une température donnée, le spectre du corps noir s’étend toujours en fréquence de zéro à l’infini, mais l’essentiel de l’énergie est émise dans une bande relativement étroite autour du maximum. Un corps noir dont la température est de quelques kelvins émet des ondes radio millimétriques, tandis qu’à plusieurs millions de kelvins il émet des rayons X.

D’après les mesures expérimentales (la valeur de la constante de Stefan-Boltzmann et le coefficient de la loi de déplacement de Wien), Planck estima que la valeur de la constante h valait 6.55*10-34 J.s (la fréquence ν s’exprime en hertz = s–1). Cela indique la qualité des expériences alors menées, puisque la valeur actuellement admise est de 6.63*10-34 J.s. Ces expériences permettaient aussi d’évaluer la constante de Boltzmann k. Elles donnaient k = 1.34*10-23 J/K (valeur actuelle 1.38), et de là il était possible d’évaluer le nombre d’Avogadro (nombre de molécules par mole) NA = 6×1023, rapport entre la constante R=8.3 J/mole/K de l’équation des gaz parfaits (PV=nRT) et la constante de Boltzmann. Ensuite, il devenait possible de calculer la charge élémentaire e comme le rapport entre le faraday (96500 coulombs/mole) et le nombre d’Avogadro.

Planck obtenait ainsi une évaluation e = 1.56*10-19 C (valeur actuelle 1.60) bien meilleure que la valeur e = 2.2*10-19 C que Thomson mesurait au même moment. La mesure de la charge électrique des particules alpha, par Rutherford et Geiger en 1908, confirma la valeur de Planck.

La dérivation par Planck de sa formule ne satisfaisait personne, Planck moins que tout autre, et de nombreuses tentatives se succédèrent (dont Einstein en 1916) pour la placer sur des bases solides. Peter Debye en donna une en 1910 qui fut longtemps considérée comme la plus satisfaisante jusqu’à celle de Bose en 1924, puis finalement celle de Dirac en 1927.

 


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