Fonction d’onde et probabilités

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L’équation de Schrödinger

En décembre 1925, Schrödinger commença par rechercher une équation d’onde relativiste pour l’électron, en partie calquée sur celle de l’électromagnétisme (dérivées secondes par rapport à l’espace et au temps). Redérivée de nombreuses fois plus tard, en particulier par Oskar Benjamin Klein (1894–1977) et Walter Gordon (1893–c.1940), elle est aujourd’hui connue sous le nom d’équation de Klein-Gordon. Pauli et Weisskopf montrèrent en 1934 qu’elle décrit en fait des particules de spin zéro.

SchrödingerMais cette équation ne donnait pas les bons résultats pour l’atome d’hydrogène. Schrödinger finit par trouver une équation qui donnait le bon résultat, mais elle n’était pas relativiste car elle faisait intervenir une dérivée première par rapport au temps mais des dérivées secondes par rapport à l’espace, et traitait donc différemment le temps et l’espace. Il apparut ensuite que l’origine des difficultés de Schrödinger se trouvait dans le spin de l’électron, dont il n’avait pas tenu compte: le couplage spin-orbite compense, en partie, les corrections relativistes, et son équation non-relativiste sans spin donne pour l’atome d’hydrogène presque le même résultat que l’équation relativiste avec spin introduite ensuite par Dirac!

Schrödinger ne partit donc pas de l’équation d’onde pour la lumière, mais des équations de Maxwell que l’on peut écrire:

∂E/∂t = ∇xB    et     ∂B/∂t = -∇xE

où l’opérateur nabla ∇ a pour composantes (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) en coordonnées cartésiennes. Schrödinger chercha une équation de la forme:

∂ψ/∂t = F(ψ)

où F ferait intervenir la fonction d’onde ψ et ses dérivées par rapport à l’espace. Mais F doit être telle que l’équation ait parmi ses solutions des ondes planes, qui s’écrivent:

ψ(x,t) = ψ(0) exp i {k.x – ωt}

avec un nombre d’onde k relié à l’impulsion p par k = p/ħ et une pulsation ω reliée à l’énergie par ω = E/ħ [relation pulsation-fréquence ω= 2πν]. Comme E = p2/2m, la relation de de Broglie s’écrit ω = ħk2/2m.

∂ψ/∂t = – iω ψ = -i (ħk2/2m) ψ = F(ψ)

Comme ∂ψ/∂x = ik ψ cela suggère que F contienne une dérivée seconde par rapport à l’espace

2ψ/∂x2 = -k2 ψ

F(ψ) = i ħ/2m ∂2ψ/∂x2 pourrait donc faire l’affaire. Et en 3 dimensions ∂2/∂x2 ➛ ∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2 ≣ ∇2 = ∆ (opérateur de Laplace, ou laplacien).

∂ψ/∂t = i ħ/2m ∆ψ ⇔ i ħ ∂ψ/∂t = – ħ2/2m ∆ψ

Ce qui est l’équation de Schrödinger pour une particule libre (sans interaction).

Particule interagissant avec un potentiel

Schrödinger remarqua la correspondance entre impulsion p et opérateur différentiel ∂/∂x, ou plus précisément p ⇔ –i ħ ∂/∂x, permettant à l’équation pour la particule libre de s’écrire

i ħ ∂ψ/∂t = [p2/2m] ψ = Ecinétique ψ

suggérant la généralisation

i ħ ∂ψ/∂t = [Ecinétique + Epotentielle] ψ = H ψ

où H est le hamiltonien. D’où l’équation de Schrödinger complète:

i ħ ∂ψ/∂t = H ψ

Quand les forces agissant sur la particule dérivent d’un potentiel V, Epotentielle = V(x) et

i ħ ∂ψ/∂t = [p2/2m + V(x)] ψ

i ħ ∂ψ(x,t)/∂t = – ħ2/2m [∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2] ψ(x,t) + V(x)ψ(x,t)

Schrödinger n’a pas réellement démontré que cette équation était la bonne, mais elle conduit à d’excellents résultats pour les atomes simples.

L’équation de Schrödinger a trois propriétés essentielles:

  1. Elle fait intervenir de façon intrinsèque les nombres complexes [via le facteur i=√(-1)]. Partout ailleurs en physique, seuls les nombres réels interviennent, même s’il est parfois plus simple d’utiliser les nombres complexes comme intermédiaires de calcul (en électrodynamique par exemple, ou dans la physique des ondes). Schrödinger ne perçut d’ailleurs pas immédiatement cela et dans son premier article, il commence par laisser entendre que seule la partie réelle a un sens physique avant de conclure à la fin que la fonction ψ doit être « considérée comme essentiellement complexe ».
  2. Elle est linéaire dans la fonction ψ. Cela implique que si ψ1 est une solution, il en est de même de a*ψ1 (où a est un nombre complexe quelconque), et si ψ2 est une autre solution, il en est de même de ψ12. Cette linéarité (qui survit dans toutes les formes de la mécanique quantique) est à l’origine des « paradoxes » de la mécanique quantique.
  3. C’est une équation différentielle du premier degré par rapport au temps: cela signifie que la connaissance de la fonction d’onde ψ(t0) à un instant quelconque t0 permet de la déterminer à tout instant t de manière univoque.

☛ L’équation d’évolution temporelle de la fonction d’onde est une équation déterministe, et Schrödinger espérait ainsi faire de la mécanique quantique une théorie aussi déterministe que la mécanique classique, les objets de son étude étant les ondes plutôt que des particules.

☛ Une équation d’onde est une équation différentielle dont les solutions dépendent des conditions aux limites qui sont imposées. Ces solutions forment, dans de nombreuses circonstances, des ensembles discrets de solutions: par exemple, une corde vibrante ne vibre qu’à certaines fréquences précises (le fondamental et ses harmoniques). Il existe alors une étroite corrélation entre les paramètres de l’onde (fréquence et amplitude) et les conditions aux limites (taille du système par exemple), et cette corrélation s’exprime par des nombres entiers (par exemple, les fréquences de vibration sont des multiples entiers d’une fréquence fondamentale).

Les valeurs permises, comme les fréquences, sont les valeurs propres du problème, et les solutions (la fonction d’onde) sont des fonctions propres. La quantification se réduit au problème mathématique de trouver les fonctions propres et les valeurs propres de certaines équations différentielles auxquelles on fixe certaines conditions aux limites. Cela explique le titre de la série d’articles de Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (La quantification comme problème de valeurs propres).

Équivalence entre mécanique des matrices et mécanique ondulatoire

Born, travaillant avec Wiener pendant l’hiver 1925-1926, avait perçu que les matrices carrées de l’approche de Heisenberg sont un cas particulier d’opérateurs linéaires dans un espace vectoriel. Schrödinger montra l’équivalence entre son approche ondulatoire et la mécanique des matrices dès mars 1926, ainsi que Pauli indépendamment (lettre du 12 avril à Jordan).

  • État (matrice-vecteur) ➛ fonction d’onde ψ(x,t)
  • Matrice carrée ➛ opérateur différentiel s’appliquant à une fonction, la fonction d’onde ψ(x,t)

Exemples:

  • Px ψ ➛ -iħ ∂ψ/∂x
  • Qx ψ ➛ x ψ
  • H ψ ➛ -ħ2/2m ∂2ψ/∂x2 + V ψ
  • Lz ψ ➛ –iħ (x∂ψ/∂y – y∂ψ/∂x)

Il y a une différence cependant entre les approches de Schrödinger et de Heisenberg: dans la première, la fonction d’onde dépend du temps mais pas les opérateurs qui agissent sur elle, dans la seconde, ce sont les opérateurs (les matrices) qui dépendent du temps. Il est bien sûr possible de passer d’une représentation à l’autre.

De l’onde à la fonction d’onde

Dans sa conférence Nobel de 1933, Schrödinger expliqua l’influence qu’avaient eu sur sa réflexion les idées d’Einstein et de de Broglie, et combien il lui semblait évident que matière et lumière devaient avoir un comportement similaire. Il y expliquait comment le principe de Fermat selon lequel la lumière suit le chemin le plus rapide, suffisait à retrouver toutes les lois de l’optique géométrique et le trajet (purement fictif) des rayons lumineux, sans devoir imaginer que ceux-ci soient des trajectoires de corpuscules. En mécanique classique, Lagrange puis Hamilton avaient réécrit la mécanique newtonienne en partant du principe de moindre action de Maupertuis, généralisant le principe de Fermat. Comme de Broglie, Schrödinger pensait que le parallèle entre lumière (Fermat) et matière (Maupertuis) pointait vers une description ondulatoire de la matière, description dans laquelle une (trajectoire de) particule serait aussi fictive qu’un rayon lumineux. Mais, disait Schrödinger, les billes ou les planètes ressemblant peu à des ondes, cette description ne parut jamais aller de soi.

Jusqu’à la mécanique quantique. Ce n’est qu’en acceptant une nature ondulatoire pour la matière, et donc les phénomènes caractéristiques de diffraction et d’interférence, qu’il devenait possible d’expliquer la quantification imposée par Bohr aux atomes par l’interférence des ondes de matière. Et comme ces phénomènes ne deviennent sensibles que pour des systèmes de dimension comparable à la longueur d’onde, les effets quantiques disparaissent pour des échelles macroscopiques, donnant l’apparence d’un monde de particules. « En réalité, l’atome est simplement la diffraction d’une onde électronique capturée par le noyau de l’atome » dit Schrödinger, expliquant ainsi pourquoi la taille d’un atome est automatiquement comparable à la longueur d’onde de l’électron, la longueur de de Broglie, reliée au quantum d’action h qui apparaît aussi dans l’autre théorie ondulatoire, celle de la lumière.

espace ➛ espace de phase ➛ espace abstrait

Schrödinger proposait d’abandonner l’idée même de particule pour décrire un électron et de la remplacer par celle d’onde (de fonction d’onde plus exactement). Pour une seule particule, cette onde Ψ se déployait dans l’espace et il était relativement simple de se l’imaginer. Pour plusieurs particules c’était un peu plus difficile, mais encore possible. Selon Schrödinger, un électron n’était pas un objet quasi-ponctuel mais il remplissait tout l’espace avec une densité locale donnée par |Ψ|2 = Ψ*Ψ.

En effet, la densité ρ = |Ψ|2 = Ψ*Ψ obéissait à la classique équation de conservation ∂ρ/∂t + ∇.j = 0 en définissant de la manière habituelle par j = [Ψ*∇Ψ – Ψ∇Ψ*] h/2im . En multipliant ces quantités par la charge de l’électron e, cela pouvait s’interpréter comme une densité de charge électrique e|Ψ|2 et un courant électrique ej. En les multipliant par la masse m de l’électron, cela devenait une densité de masse et un courant de matière.

Proposée dans son 4° article de la série Quantisierung als Eigenwertproblem en 1926, cette interprétation fut réfutée dès 1927 par Erwin Madelung (1881-1972) car les différentes parties de l’électron auraient alors dû interagir électromagnétiquement.

Interprétation probabiliste

Max Born (1882-1970)
Max Born (1882-1970)

Né en 1882 à Breslau (aujourd’hui Wrocław en Pologne), Max Born avait reçu une solide formation de mathématicien, d’abord à Breslau avec Jakob Rosanes, un spécialiste de géométrie algébrique qui (entre autres) lui enseigna l’algèbre des matrices, puis à Göttingen avec Herman Minkowski, David Hilbert (dont il fut le « scribe ») et Félix Klein sous la direction de qui il passa son doctorat sur des questions d’élasticité. Il se tourna ensuite vers la physique et il fut assistant à Göttingen, puis à Berlin, avant de devenir professeur de physique mathématique à Göttingen en 1921, succédant à Peter Debye, et directeur du nouvel Institut de physique théorique. Il en profita pour obtenir un second poste pour James Franck, à la tête de l’Institut de physique expérimentale. Wolfgang Pauli fut brièvement son assistant, poste occupé à partir de 1923 par Heisenberg et Jordan.

Après avoir établi la mécanique des matrices sur une base mathématique solide, Born utilisa cependant la mécanique ondulatoire d’usage plus simple en apparence. Il défendit alors l’idée que la fonction d’onde n’était qu’une amplitude de probabilité, concept qui lui apporta le prix Nobel, mais pas avant 1954 (probablement parce qu’il était difficile de le récompenser pour son apport essentiel à la mécanique des matrices, pour laquelle Heisenberg avec déjà eu le prix Nobel, sans récompenser aussi Jordan devenu politiquement infréquentable.

Lors de l’arrivée au pouvoir d’Hitler, Born émigra, devenant professeur à Cambridge de 1933 à 1936, puis à Edinbourg de 1936 à 1953. Born était un enseignant remarquable, certains de ses ouvrages sont encore quotidiennement utilisés (le Born & Wolf d’optique par exemple), et le nombre de ses étudiants et collaborateurs devenus ensuite célèbres est impressionnant: outre Heisenberg et Jordan, il dirigea les thèses de Delbrück, Elsasser, Hund, Goeppert-Mayer, Nordheim, Oppenheimer et Weisskopf, et à Göttingen il eut pour assistants Pauli, Rosenfeld, Fermi, Teller et Wigner.

Collisions de particules

Dans l’approche de Schrödinger, la fonction d’onde Ψ(x,t) d’une particule est une quantité qui dépend de la position x de la particule et du temps t. Schrödinger y voyait dans la fonction d’onde un étalement spatial de la particule décrite, qui était donc matériellement plutôt une onde qu’une particule. Mais Born ne partageait pas cet avis car les détecteurs enregistraient bien le passage, ou l’impact, de quelque chose de localisé, donc une particule: les scintillations sur un écran de sulfure de zinc, les cliquetis d’un compteur Geiger ou les trace photographiées dans une chambre à brouillard ne pouvaient pas s’interpréter comme quelque chose d’aussi diffus qu’une onde (la réponse de Schrôdinger était qu’il fallait en ce cas considérer des paquets d’onde). Born pensa que la question ne pouvait pas être tranchée en ne considérant que les électrons liés à un atome, et il se tourna vers les collisions entre particules.

Son idée était que l’intensité d’un flux de particules, des électrons par exemple, serait donnée par Ψ (ou|Ψ|2) aussi bien dans l’interprétation de Schrödinger (Ψ donne la densité locale d’une particule) que dans la sienne (Ψ donne la probabilité de présence d’une particule). Chaque électron arrivant sur une cible, un noyau atomique par exemple, engendrerait une onde secondaire partant de ce noyau avec une amplitude variant selon la direction. Si Schrödinger avait raison, chaque électron serait étalé tout autour du diffuseur. Si c’était lui qui avait raison, chaque électron serait détecté dans une direction unique, avec une probabilité calculable.

Dès le printemps 1926, Born utilisa donc la mécanique ondulatoire de Schrödinger pour examiner le cas de la collision entre deux particules. Au départ, elles sont loin l’une de l’autre et elles peuvent être considérées comme des particules libres, non soumises à des forces. Puis elles s’approchent, interagissent, puis repartent au loin, à nouveau approximativement libres. Leur interaction est enregistrée par la modification de leur énergie et de leur impulsion (ce qui se traduit entre autres par un angle de déviation). Born aborda le problème pour une interaction relativement faible (ce qu’on appelle désormais l’approximation de Born) et il calcula la probabilité de déviation d’un électron par un noyau. Peu parès Wentzel retrouva de cette façon la formule de Rutherford pour la diffusion des particules alpha: Rutherford l’avait calculée classiquement, Wentzel montra qu’on la retrouvait en mécanique quantique.

Amplitude de probabilité

Dans son article sur les processus de collision (Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge, Sur la mécanique quantique des processus d’impact), suivi un mois après d’un second plus détaillé, Born interpréta la fonction d’onde comme une amplitude de probabilité, permettant de calculer la probabilité de trouver la particule à la position x au temps t mais ne disant rien de sa répartition spatiale « réelle » avant sa détection hic et nunc.

L’idée était plus ou moins dans l’air, mais l’idée la plus souvent répandue était que la fonction d’onde était une probabilité. Mais Born montra que cette position était intenable, car une fonction d’onde est un nombre complexe avec une partie réelle et une partie imaginaire. or une probabilité doit être un nombre réel positif ou nul (inférieur à 1, mais il est toujours possible de renormaliser la fonction d’onde pour cela). D’autres avaient remarqué cette difficulté et ils avaient proposé de considérer comme une probabilité la norme |Ψ| de la fonction d’onde. Mais ce choix entre en conflit avec les propriétés des probabilités d’événements composés et Born montra qu’il était beaucoup plus cohérent d’interpréter comme une probabilité le carré de la norme |Ψ|2 = Ψ*Ψ (où Ψ* est le complexe conjugué de Ψ).

Cette notion de probabilité, et surtout la perte de la causalité, conduisit à un accueil très réservé à ces idées. Born concluait en effet:

« On n’obtient pas dans la théorie quantique de réponse à la question: Quel est l’état après la collision? mais seulement une réponse à la question Quelle est la probabilité d’un résultat donné après la collision. […] Du point de vue de notre mécanique quantique, il n’y a aucune quantité (Grösze) qui détermine causalement l’effet de la collision pour un événement individuel. Devons-nous espérer découvrir plus tard une telle propriété […] et la déterminer dans les événements individuels? […] Pour ma part, je suis incliné à renoncer au déterminisme dans le monde atomique, mais ceci est une question philosophique à laquelle les arguments physiques seuls n’apportent pas de réponse. »

Dans son discours Nobel en 1954, Born expliqua que l’abandon d’un déterminisme absolu ne l’avait pas choqué parce que prédire l’état futur de n’importe quel système était de toute façon impossible si l’état initial n’était pas connu avec une précision absolue, ce qui est matériellement impossible, et que tout concept qui ne correspond à aucune observation réalisable ne devait avoir aucune place dans une théorie (cf. Einstein avec la relativité ou Heisenberg avec la mécanique des matrices). Dans son deuxième article, Born rendait hommage à Einstein en disant que le point de départ des ses réflexions était une remarque d’Einstein concernant le champ électromagnétique de Maxwell et les quanta de lumière: Einstein « disait approximativement que l’onde n’est là que pour guider le quantum corpusculaire, et il parla en ce sens de champ fantôme (Gespensterfeld) ». Einstein avait évoqué en effet un Führungsfeld, un champ pilote, dans ses commentaires des travaux de de Broglie (et la notion d’onde-pilote survécu très longtemps, dans l’approche de la mécanique quantique de David Bohm en particulier).

La plupart des physiciens se montrèrent très réticents face à l’abandon de la causalité, en particulier Schrödinger lui-même, qui déclara par la suite à plusieurs reprises que s’il avait imaginé les conséquences de sa théorie, il ne l’aurait sans doute pas publiée. Einstein se montra particulièrement hostile à l’idée de probabilité. C’est dans une lettre de réponse à Born, datée du 12 décembre 1926, qu’Einstein écrivit la phrase célèbre:

« La mécanique quantique est très impressionnante. Mais une voix intérieure me dit que ce n’est pas encore la vraie réponse. La théorie nous apporte beaucoup mais ne nous rapproche guère des secrets du Vieux. Je suis entièrement convaincu qu’Il ne joue pas aux dés. »

Il reprit souvent cette expression, en particulier lors de discussions avec Bohr qui lui aurait répliqué « Ne dites pas à Dieu ce qu’il doit faire! ».

Peu après que Born eut proposé son interprétation probabiliste de la fonction d’onde, cette idée fut renforcée par la découverte des inégalités de Heisenberg en 1927 qui contredisaient à la fois la notion de particules spatialement localisées et celle d’ondes de fréquence bien déterminée: l’image était plutôt celle d’une particule un peu étalée ou d’un paquet d’ondes un peu étalé en fréquence.

La tombe de Max Born
La tombe de Max Born

Max Born finit par recevoir le prix Nobel de physique en 1954 pour son interprétation probabiliste de la fonction d’onde, prix partagé avec Walther Bothe (pour son invention de la méthode des coïncidences).

Mais il considérait la relation de commutation pq-qp=-iħ comme sa contribution majeure à la science, et il la fit graver sur sa pierre tombale (comme Boltzmann fit graver son équation S=kLogW et Schrödinger la lettre Ψ).

L’interprétation de la fonction d’onde comme une densité de probabilité ouvrit une boîte de Pandore.Réflexions du chat

 


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