Théories du noyau

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Modèles du noyau

Les théoriciens n’étaient pas restés inactifs devant les brillants résultats de l’équipe de Fermi avec les neutrons. Une description complètement quantique d’un ensemble de plusieurs dizaines de nucléons était alors hors de portée des physiciens, même si les interactions avaient parfaitement été connues (ce qui n’était pas le cas).

La difficulté majeure est qu’une dizaine de nucléons, c’est à la fois beaucoup et peu. C’est beaucoup pour traiter quantiquement les interactions mutuelles entre des objets (les nucléons) tous de masses comparables et soumis à des interactions dont la portée est du même ordre de grandeur que la taille du noyau dans lequel ils sont confinés. C’est peu pour utiliser des méthodes statistiques dans lesquelles les effets se compensent en partie et où on pourrait considérer chaque nucléon comme se déplaçant dans le champ (ou le potentiel) créé en moyenne par tous les autres.

Deux grandes familles de modèles furent alors développés :

Le modèle de la goutte d’eau (droplet model) suppose que les nucléons interagissent fortement, mais à très courte portée (quasiment une force de contact), à la manière des molécules d’eau dans une goutte. Les observations de diffusion sur les noyaux avaient en effet montré que le volume des noyaux était à peu près proportionnel à leur masse atomique A, et que leur énergie de liaison était également, en première approximation, proportionnelle à A. L’interprétation la plus simple était d’imaginer le noyau comme une collection de A objets de taille à peu près fixe, et dotés d’interactions entre voisins immédiats.

Le modèle en couches (shell model) suppose au contraire que les nucléons interagissent peu directement les uns avec les autres, et qu’ils se déplacent à peu près librement dans un potentiel moyen recouvrant l’ensemble du noyau.

Jenö Pal (Eugene Paul) Wigner ©Nobel Foundation
Jenö Pal (Eugene Paul) Wigner ©Nobel Foundation

Dans ce cas, la mécanique quantique conduit à une série de niveaux d’énergie distincts (les couches) que les nucléons occupent successivement en accord avec le principe d’exclusion de Pauli. Cela ressemble à la description des électrons dans l’atome, malgré d’importantes différences. Ce modèle ne devint réellement accepté qu’après la Seconde Guerre Mondiale, avec les travaux de Eugene Wigner, puis de Maria Goeppert-Mayer et Johannes Hans Jensen en 1949, ce qui leur valut le prix Nobel de physique en 1963. Ce modèle explique en particulier que certains noyaux (les « nombres magiques » 2, 8, 20, 28, 50, 82 et 126 nucléons) soient beaucoup plus liés que le prévoit le modèle de la goutte d’eau car ils correspondent à des couches complètes.

Aucun de ces deux modèles n’est très satisfaisant parce que le libre parcours moyen des nucléons dans un noyau est du même ordre de grandeur que la taille du noyau, alors que le modèle de la goutte d’eau le suppose beaucoup plus petit, et le modèle en couches beaucoup plus grand. Faute de modèle unifié, les physiciens utilisaient l’un ou l’autre selon le problème à traiter.

Gamow

Le modèle collectif ou modèle des amas (cluster model) est intermédiaire et suppose qu’un noyau est une collection d’objets fortement liés, comme des particules alpha, qui se déplacent dans un potentiel d’ensemble. Historiquement, c’est le premier modèle de noyau, remontant à Rutherford et à Gamow. Il évolua ensuite vers le modèle de la goutte d’eau.

Cockroft et Gamow au Cavendish vers 1930
Cockroft (à gauche) et Gamow (à droite) au Cavendish vers 1930

Dès 1928, George Gamow (d’abord à Copenhague avec Bohr, puis à Cambridge avec Rutherford) avait imaginé un noyau comme une superposition de particules alpha (et parfois aussi de protons et d’électrons) liées par des forces de contact analogues à la tension de surface dans une goutte liquide, utilisant un potentiel semi empirique V(r) = 4e2/r – a e-br . Il publia ses résultats le 28 janvier 1930 sous le titre « Défaut de masse et constitution nucléaire ». Prenant en compte attraction de contact et répulsion électrostatique, il pouvait estimer l’énergie de liaison du noyau (le « défaut de masse ») et comparer sa prédiction aux résultats expérimentaux d’Aston.

L’accord très approximatif de la théorie de Gamow en 1930 (hachures) avec les données d’Aston (points noirs)
L’accord très approximatif de la première théorie de Gamow en 1930 (hachures) avec les données d’Aston (points noirs)

La forme était qualitativement correcte, mais ni la profondeur ni la largeur. Le résultat étant très médiocre au delà de A=40 (10 alphas pour un noyau), Gamow enrichit son modèle en supposant que les noyaux plus lourds avaient des « électrons nucléaires » additionnels (le neutron n’était pas découvert en 1930), 2 d’abord, puis 4 puis 6. Il parvint ainsi à reproduire à peu près la courbe d’Aston, mais il se heurta au problème des électrons nucléaires qui, à ces énergies, devaient avoir des vitesses relativistes, et de ce fait une forte probabilité de s’échapper (paradoxe de Klein). De plus les noyaux au-delà de 30 alphas (A>120) étaient prédits instables (mais les données étaient alors très incertaines).

Modèle de Gamow "amélioré"  (1930)
Modèle de Gamow « amélioré » (1930)

Gamow, toujours très pragmatique, se dit que la question des électrons finirait bien par être réglée et que le reste du modèle était assez séduisant pour être poursuivi plus avant. Mais il dut retourner en URSS, où il demeura bloqué jusqu’à ce qu’il soit autorisé à assister en octobre 1933 à Bruxelles à la conférence Solvay. Entretemps la découverte du neutron en 1932, puis les travaux théoriques d’Heisenberg en 1932, puis de Majorana en 1933, sur les forces entre nucléons, avaient permis d’améliorer considérablement l’approche de Gamow. L’exposé d’Heisenberg à la conférence Solvay de 1933, «Considérations théoriques générales sur la structure du noyau», fut présenté par lui comme une version modernisée du modèle de Gamow. Le modèle supposait qu’un proton ou un neutron ne voyait que ses voisins immédiats (autrement dit, son libre parcours moyen était petit devant la taille du noyau). En fait, ce n’est pas le cas, le libre parcours est du même ordre de grandeur que la taille du noyau et les effets collectifs ont toute leur importance. Malgré tout, le modèle de la goutte est efficace dans de nombreux cas. Le noyau est modélisé comme une goutte (liquide) et non comme un cristal (solide) car les fluctuations quantiques de position (fluctuations « de point zéro ») sont du même ordre que les distances entre particules.

Données expérimentales

La mesure de la taille des noyaux était une information très importante pour la construction d’un modèle nucléaire. Pour les noyaux légers, on pouvait mesurer l’écart à la loi de Rutherford (Coulomb) ⇒ hydrogène 0.8×10-15 m. Pour les noyaux lourds, on utilisait la transmutation α par effet tunnel → position et largeur de la barrière ⇒ polonium 7×10-15 m et uranium 9×10-15 m. Mais pour tous les autres ? Il restait la diffusion de protons (mais répulsion coulombienne à prendre en compte) ou la diffusion de neutrons (mesure de la diminution du flux de neutrons rapides en fonction de l’épaisseur traversée).

Taille mesurée des noyaux
Taille mesurée des noyaux
  • ⇒ rayon ∝ A1/3
  • ⇒ r = (1,7 + 1,22 A1/3)x10-15 m
  • ⇒ densité nucléaire constante (densité = A/volume)

Autre information essentielle : l’énergie de liaison des noyaux, donnée par les mesures de masse précises d’Aston.

Eliaison = | Mnoyau – Z mproton – N mneutron |

Courbe d'Aston
Courbe d’Aston

Énergie de liaison par nucléon constante ~ 8 MeV/nucléon en 1° approximation

⇔ chaque nucléon n’est sensible qu’à ses voisins immédiats

⇒ force de portée ~ taille d’un nucléon ~ 10-15 m

☺explique bien (au moins qualitativement) l’augmentation de l’énergie de liaison du lithium au fer car de moins en moins de neutrons sont près de la surface

☺ explique bien (au moins qualitativement) la diminution de l’énergie de liaison du fer à l’uranium en raison de la répulsion électrostatique ∝ Z2 grandissante

☹ n’explique pas la stabilité particulièrement grande pour 4He, 12C, 16O, 20Ne

Goutte d’eau

L’ensemble des nucléons a une cohésion à très courte portée et (l’équivalent d’)une tension de surface ☞ comportement analogue à celui d’une goutte d’eau ?

Image du noyau considéré comme une la goutte d'eau
Image du noyau considéré comme une la goutte d’eau

Modes de vibration en volume (compression, dilatation, déformation) + modes de vibration de surface

La théorie quantique de l’interaction nucléon-nucléon étant trop rudimentaire, Carl von Weizsäcker (à Leipzig puis à Berlin) s’inspira en 1935 de cette image de la goutte pour établir une formule qui reproduisait bien les mesures d’Aston.

Weizsäcker
Carl von Weizsäcker

Points de départ :

  1. noyaux formés de Z protons et N = A-Z neutrons
  2. nucléons non-relativistes (la masse des nucléons étant très supérieure à leur énergie de liaison)
  3. densité de nucléons constante d’un noyau à l’autre
  4. énergie de liaison par nucléon constante, sauf effets de surface
  5. nombre N de neutrons proche du nombre Z de protons (← principe de Pauli)
  6. répulsion coulombienne ∝ Z2

Weizsäcker exprima l’énergie de liaison d’un noyau par une somme de contributions semi-empiriques :

  • un terme proportionnel au volume (lui-même proportionnel au nombre A de nucléons),
  • un terme proportionnel à la surface (donc proportionnel à A2/3),
  • un terme d’asymétrie reflétant le principe d’exclusion de Pauli qui défavorise un excès de protons ou un excès de neutrons,
  • un terme électrostatique  de répulsion coulombienne des protons,
  • et finalement un terme « de parité » simulant la tendance des neutrons et des protons à aller par paires

E = aVA–aSA2/3 –aA(N-Z)2/A –aCZ(Z-1)/A1/3 ±δ(A,Z)

Les composantes de l'énergie de liaison dans la formule de Weizsäcker
Les composantes de l’énergie de liaison dans la formule de Weizsäcker

Les coefficients aV, aS, aA, aC et δ sont déterminés empiriquement en ajustant la courbe sur l’énergie de liaison mesurée.

L’énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons selon Weizsäcker en 1935 (« Zür Theorie der Kermesse »)
L’énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons selon Weizsäcker en 1935 («Zür Theorie der Kernmesse»), l’échelle verticale est inversée

Pour des noyaux légers, le terme d’asymétrie tend à forcer N ~ Z (les noyaux stables suivent la diagonale sur le diagramme de Segrè) mais quand la masse augmente (ou plus justement la charge électrique, donc le numéro atomique Z > 30) le terme électrostatique déplace la vallée de stabilité vers N > Z.

Hans Bethe reprit, simplifia et améliora le calcul de Weizsäcker et lui donna un grand impact dans trois gros articles de synthèse pour la Review of Modern Physics, l’un en 1936 avec Robert Bacher, un deuxième en solo en 1937 et le troisième toujours en 1937 avec Livingston. Formant une synthèse exhaustive des connaissances sur la structure du noyau atomique et sur sa dynamique au cours des réactions nucléaires, ces articles demeurèrent la «Bible» d’une génération de physiciens nucléaires, même après la découverte de la fission.

Hans Bethe(1906-2005) en 1935
Hans Bethe(1906-2005) en 1935

Résonances

L’efficacité des neutrons lents fut expliquée par Fermi et par Bethe en terme de longueur d’onde de de Broglie → σ∝1/V . Cela suppose implicitement que le neutron voit tous les noyaux comme des blocs compacts à peu près identiques (à la taille près), et on en déduit que σcapture << σdiffusion comme pour les collisions électron-atome.

Ceci est contredit par les observations qui indiquent au contraire σcapture >> σdiffusion (par exemple, pour le cadmium σcapture ~ 100 σdiffusion). De plus le phénomène de capture sélective σcapture(B≠A) >> σcapture(B=A) était incompréhensible.

Capture sélective des neutrons
Capture sélective des neutrons

Ce phénomène fut interprété par Leó Szilárd qui suggéra qu’un noyau donné ne pouvait capturer que certains neutrons, probablement ceux d’une énergie bien précise (dépendant du noyau). Analogie : un atome n’absorbe que les photons dont l’énergie correspond à la différence d’énergie entre deux niveaux électroniques.

⇒ si B=A, le flux de neutrons arrivant en B est appauvri en neutrons capturables ⇒ σcapture(B≠A) >> σcapture(B=A)

☞ études fines systématiques ☞ les neutrons sont bien plus capturés à certaines énergies précises : les résonances

Après les expériences de capture de neutrons par Fermi et son équipe, la découverte de résonances très étroites marqua une nouvelle étape. Une résonance signifie que la probabilité pour un neutron d’être absorbé par un noyau augmente très brutalement quand l’énergie du neutron se situe dans un intervalle extrêmement étroit, et diminue brutalement au-dessus ou en dessous de cet intervalle. C’est une situation très semblable à celle de l’atome d’hydrogène : celui-ci n’absorbe de photons que lorsque ceux-ci possède une énergie précise, correspondant à la différence entre deux niveaux d’énergie quantique de l’atome. Il apparaît donc qu’un noyau se comporte, dans ces circonstances du moins, de manière collective, avec ses propres niveaux d’énergie. Tous les noyaux ne manifestent pas ce comportement, qui est donc lié à la structure interne des noyaux.

Section efficace de capture des neutrons pour l’hydrogène (en bleu) et pour le cadmium (en vert). Le cadmium absorbe les neutrons plus efficacement que l’hydrogène de l’eau, mais le phénomène est bien plus accentué dans la région des résonances, entre 102 eV et 104 eV ©NNDC-BNL
Section efficace de capture des neutrons pour l’hydrogène (en bleu) et pour le cadmium (en vert). Le cadmium absorbe toujours les neutrons plus efficacement que l’hydrogène (de l’eau par exemple), mais le phénomène est bien plus accentué dans la région des résonances, entre 100 eV et 10 000 eV ©NNDC-BNL

Noyau composé

Le modèle de la goutte liquide, qui avait été jusque là utilisé pour comprendre la structure d’un noyau et calculer ses énergies possibles, allait alors être étendu pour modéliser ses interactions avec des particules incidentes.

Jenö Pal (Eugene) Wigner
Jenö Pal (Eugene) Wigner

Wigner avait introduit la notion d’un état transitionnel quasi-stable à la suite de la capture d’un projectile par un noyau, état qui se désintégrait ensuite. Wigner avait reçu une formation de chimiste avec Polanyi et ils avaient élaboré une théorie des réactions chimiques dans laquelle les réactants passaient par une coalescence temporaire. En 1935-1936, il avait appliqué ce mécanisme aux noyaux avec Gregory Breit (alors à l’université du Wisconsin) et ils avaient abouti à la « formule de Breit-Wigner » pour la section efficace d’interaction.

Bethe et Placzek généralisèrent la théorie de Breit et Wigner fin 1936 (Phys. Rev. 51, 450 – 484 1937). Bethe était alors à Cornell, et Placzek à Copenhague (Universitetets Institut for Teoretisk Fysik).

George Placzek (1905-1955)
George Placzek (1905-1955)

The dependence of the cross section on the energy of the incident particle can be divided into two parts: Firstly, the dependence over energy regions small compared to nuclear energies, and secondly that over large energy regions, of the order of a million volts or more. The first dependence is completely given by the resonance formula; it shows resonance maxima and besides a simple general trend with the particle energy such as the 1 / v law. The dependence over large energy regions cannot be found without referring to a special nuclear model. (Bethe et Placzek)

De son côté, Niels Bohr reprit l’image d’une goutte d’eau dans un article de Nature en janvier 1936, pour modéliser la capture d’un neutron par un noyau, introduisant la notion de noyau composé. Il développa ce modèle entre 1935 et 1937 avec son élève Fritz Kalckar (1910-1938). L’étroitesse des résonances impliquait que l’ensemble noyau plus neutron formait un noyau nouveau et quasi stable, le noyau composé. Il n’y avait guère de différence entre le noyau composé de Bohr et l’état transitionnel de Wigner.

Le "noyau composite" de Bohr
Le « noyau composite » de Bohr

Dans la description de Bohr, un neutron pénétrant dans un noyau entrait en collision avec les nucléons qui le ralentissaient jusqu’à le capturer. Son énergie se trouvait alors dispersée entre tous les nucléons (en fait ce n’est pas exact), et aucun n’avait alors assez d’énergie pour ressortir du noyau, sinon par effet tunnel, d’où la quasi stabilité du composé.

Bohr en 1936
Bohr en 1936

La distribution de cette énergie fluctuant sans cesse, il pouvait arriver qu’un nucléon parvienne à ressortir, si le hasard faisait qu’il rassemble temporairement assez d’énergie (situation analogue à l’évaporation de l’eau).

Dans ce modèle, une réaction nucléaire se déroule donc en deux étapes bien distinctes :

  1. d’abord un projectile arrive sur un noyau et y est absorbé, conduisant à un nouveau noyau, dans un état excité.
  2. ensuite, le nouveau noyau se désexcite d’une façon ou d’une autre, émettant un alpha, un bêta, un gamma, un neutron ou tout autre processus.

Chacun des processus possibles est en compétition avec tous les autres, les plus fréquents étant cependant l’émission d’un photon gamma et celle d’un neutron. Les deux étapes sont bien distinctes, et le destin d’un noyau ne dépend pas de la manière dont il a été formé.

Le noyau composé est métastable (i.e. sa durée de vie est bien plus grande que le temps nécessaire à un neutron pour parcourir son diamètre), et le noyau composé a «perdu la mémoire» du processus qui l’a formé. Il peut ensuite soit

  • conserver le neutron, on a donc la synthèse d’un isotope du noyau initial (en général dans un état d’énergie supérieur à l’état fondamentale de cet isotope, et donc désexcitation avec émission d’un photon γ)
  • émettre un neutron et redonner le noyau initial (diffusion élastique ou inélastique)
  • émettre un proton, ou un α, en donnant un noyau différent (réaction nucléaire)
À gauche, la section efficace de capture d’un nucléon par l’oxygène 16 en fonction de l’énergie du neutron, à droite les niveaux d’énergie d’un noyau d’oxygène 17, qui est ici le noyau composé de la théorie de Bohr
À gauche, la section efficace de capture d’un nucléon par l’oxygène 16 en fonction de l’énergie du neutron, à droite les niveaux d’énergie d’un noyau d’oxygène 17, qui est ici le noyau composé de la théorie de Bohr

Bizarrement, Bohr ne fit aucune référence à Gamow dans son article, ni d’ailleurs Bethe quand il reprit ces résultats dans ses articles de revue. Par la suite, le modèle de la goutte d’eau devint pour tous le modèle «de Bohr» (sauf pour Gamow bien sûr).

La région des résonances resta très mal connue jusque bien après 1945, bien qu’elle joue un rôle essentiel dans le choix du modérateur (terme dû à John Wheeler) pour un réacteur nucléaire, et dans la géométrie relative du combustible et du modérateur. Un noyau donné présente en général plusieurs résonances dont le nombre, la position et la hauteur varient de manière importante d’un noyau à un autre.

La « Bible » de Bethe:

La "Bible" de Bethe - livre I
La « Bible » de Bethe – Livre I – Bethe & Bacher (1936) – Propriétés des noyaux (statique) en 500 pages denses.
La "Bible" de Bethe - livre II
La « Bible » de Bethe – Livre II – Bethe (1937) – Dynamique des noyaux (théorie)
La "Bible" de Bethe - livre III
La « Bible » de Bethe – Livre III – Bethe & Livingston (1937), intégrant les progrès expérimentaux récents sur la diffusion des protons et des neutrons sur les noyaux

Le modèle de la goutte d’eau, et plus particulièrement l’idée du noyau composé, était donc couramment utilisé par les théoriciens pour décrire le résultat de collisions avec un noyau. Mais s’ils avaient correctement étudié le cas où l’énergie d’excitation du noyau composé se concentrait sur une particule qui pouvait alors être émise, comme lors de l’évaporation d’une vraie goutte liquide, personne n’avait pensé que cette énergie d’excitation pouvait se traduire par un mouvement collectif de la goutte pouvant conduire jusqu’à sa rupture. Après la découverte de la fission, Bohr reprit avec Wheeler le modèle de la goutte liquide, et ils parvinrent à modéliser correctement la fission en étudiant les déformations de la surface de la goutte.

Stabilité des noyaux

Formule de Weizsäcker pour l’énergie de liaison par nucléon:

E/A = a + bA-1/3 + c[(N-Z) /A]2 + 3/5 e2Z(Z-1)/(r0A4/3)

Énergie de liaison des noyaux: de part et d'autre du maximum de stabilité, il est possible de récupérer de l'énergie en se rapprochant du fer.
Énergie de liaison des noyaux: de part et d’autre du maximum de stabilité, il est possible de récupérer de l’énergie en se rapprochant du fer.

♥ Notion de vallée de stabilité

Vallée de stabilité
Vallée de stabilité
Noyaux stables au fond de la vallée de stabilité et noyaux instables sur les pentes de la vallée
Noyaux stables au fond de la vallée de stabilité et noyaux instables sur les pentes de la vallée

Pourquoi les noyaux stables sont-ils stables ?

État 1 d’énergie E1 supérieure à l’énergie E2 d’un état 2 ⇒ transition spontanée de l’état 1 vers l’état 2

Sauf s’il existe un obstacle:

  1. Loi de conservation → stabilité du proton % instabilité du neutron
  2. Barrière de potentiel
Barrière de potentiel
Barrière de potentiel

Exemple d’un lac de montagne

Lac de montagneIndice : l’abondance des noyaux dans l’univers

Abondance des différents éléments dans l'univers
Abondance des différents éléments dans l’univers

Spin ?

Moment angulaire
Moment angulaire

Moment angulaire (ou cinétique) L = M DxV

Le moment angulaire est conservé comme l’énergie E et l’impulsion P

  • E = E1+E2
  • P = P1+P2
  • L = L1+L2

    Désintégration en deux corps
    Désintégration en deux corps

Quantification:

L = n ħ → L = 0, 1, 2…

Expériences ⇒ atomes, électrons et noyaux ont une propriété additionnelle qui se comporte presque comme un moment angulaire : le spin (= tourner sur soi-même)

S = n ħ/2 → S = 0, ½, 1…

  • méson π, noyau 12C : spin 0
  • électron, proton, neutron, neutrino : spin ½
  • photon : spin 1 (→ 2 polarisations)

☞ principe de Pauli + minimisation de l’énergie d’où spins antiparallèles ↑↓

☞ stabilité plus grande des noyaux avec un nombre pair de protons et un nombre pair de neutrons

Fusion

En théorie, tout élément A < 56 peut fusionner avec un autre élément léger et libérer de l’énergie. En pratique, il existe une barrière coulombienne Z1Z2e2/r ⇒ grande vitesse des noyaux ⇒ température > Z1Z2 *10 MK ⇒ réactions thermonucléaires

Ordres de grandeur

Potentiel Coulomb V = e2/r ~ 10 eV pour r ~ 10-10 m (atome) ⇒ V ~ 1 MeV pour 2 protons séparés de r ~ 10-15 m ⇒ accélérer des protons > 1 MeV

Accélérateur ?

1 MeV est à la portée des Van de Graaf, cyclotrons…

chaque fusion libère ~ 10 MeV, mais seule une fraction est récupérable sous forme d’énergie thermique, mécanique ou électrique,

et de plus accélérer un proton à 1 MeV exige >> 10 MeV

Chauffer ?

1 eV = 104 K ⇒ 1 MeV = 1010 K.

Ceci est fortement réduit en exploitant l’effet tunnel (⇒ 107 K), mais le processus est lent (ε∝ T4) et les problèmes de confinement sont colossaux.

De plus les noyaux sont lourds, plus la barrière plus haute, et plus l’énergie libérée est faible.

Fission/fragmentation

En théorie, tout élément A > 56 peut se fragmenter en 2 éléments plus légers et libérer ainsi de l’énergie.

En pratique, ce n’est manifestement pas le cas. L’attraction nucléaire forte domine la répulsion coulombienne pour r < rnoyau .

Effet tunnel
Effet tunnel

Il y a cependant l’exemple de l’émission alpha : émission d’un noyau d’hélium (2p+2n) d’énergie >0

  • ⇒ barrière nucléaire franchie par effet tunnel
  • ⇒ exponentiellement lent
  • ⇒ émettre un noyau plus lourd qu’un α est encore moins probable
  • ⇒la fission était littéralement impensable

Contact: lettreani
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